Considere a progressão aritmética (3, a2, a3...) crescente, de razão r, e a progressão geométrica (b1, b2, b3, 3...) decrescente, de razão q, de modo que a3 = b3 e r = 3q. Determine o valor de b2.
Respostas
O valor de b2 é 12.
Uma progressão aritmética de primeiro termo a1, pode ser escrita em função da razão r da seguinte forma:
a1, a1 + r, a1 + 2r, a1 + 3r, ...
Uma progressão geométrica de primeiro termo a1, pode ser escrita em função da razão q da seguinte forma:
a1, a1.q, a1.q², a1.q³, ...
Como conhecemos o quarto termo, podemos escrever:
a4/q³, a4/q², a4/q, a4, ....
A PA pode ser escrita como: 3, 3 + r, 3 + 2r, ...
A PG pode ser escrita como 3/q³, 3/q², 3/q, 3, ....
Temos que a3 = b3 e r = 3q:
3 + 2r = 3/q
3 + 2(3q) = 3/q
3q + 6q² = 3
6q² + 3q - 3 = 0
Resolvendo pela fórmula de Bhaskara, temos q' = 0,5 e q'' = -1. Como a progressão é decrescente, sua razão deve estar entre 0 e 1, logo, q = 0,5. O valor de b2 é:
b2 = 3/q²
b2 = 3/0,5²
b2 = 3/0,25
b2 = 12
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