Question

Alguém pode me ajudar a simplificar essa expressão? Obrigado

Answer 1

Recorra às fórmulas da tangente da soma de dois arcos e da tangente da diferença de dois arcos. São elas,

$\tan{(a+b)} = \frac{\tan{a} + \tan{b}}{1 - \tan{a} \tan{b}}$

e 

$\tan{(a-b)} = \frac{\tan{a} - \tan{b}}{1 + \tan{a} \tan{b}}$

Buscamos simplificar a seguinte expressão, que chamaremos de A:

$A = \frac{\tan{(\pi - x)} - \tan{(\pi + x)}}{\tan{(2\pi + x)}}$

Vamos aplicar as fórmulas a cada uma das parcelas:

$\tan{(\pi - x)} = \frac{\tan{\pi} - \tan{x}}{1 + \tan{\pi} \tan{x}} = \frac{0- \tan{x}}{1 + (0)\tan{x}} = - \tan{x}$

e 

$\tan{(\pi + x)} = \frac{\tan{\pi} + \tan{x}}{1 - \tan{\pi} \tan{x}} = \frac{0+ \tan{x}}{1 - (0)\tan{x}} = \tan{x}$

e, finalmente,

$\tan{(2 \pi - x)} = \frac{\tan{2\pi} - \tan{x}}{1 + \tan{2 \pi} \tan{x}} = \frac{0- \tan{x}}{1 + (0)\tan{x}} = - \tan{x}$

Finalmente, substituímos em A para obter

$A = \frac{\tan{(\pi - x)} - \tan{(\pi + x)}}{\tan{(2\pi + x)}} = \frac{(-\tan{x}) - (\tan{x})}{- \tan{x}} = \frac{-2 \tan{x}}{-\tan{x}} = 2$