Question

A condição de alinhamento entre três pontos é que seu determinante seja igual a zero. Com essa informação, é possível determinar a equação geral da reta à partir de dois de seus pontos. A equação geral da reta que passa pelos pontos A = (2; 1) e B = (3; ­2) é dada por

Answer 1

Primeiro monta-se o determinante com os pontos dados. Em seguida resolve o det achando assim a equação geral.

Segue imagem com resolução.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Antôniocarlos, que é verdade que dá pra encontrar a equação da reta a partir do cálculo do determinante da matriz.
Então vamos calcular a equação geral da reta da sua questão por intermédio do determinante da matriz formada pelas coordenadas dos dois pontos dados, mais um terceiro ponto, que seria o ponto C(x; y).
Assim, a partir desses três pontos poderemos encontrar a equação geral da reta, calculando o determinante da matriz formada pelas coordenadas de cada ponto. Logo, já colocando a matriz no ponto de desenvolvê-la (regra de Sarrus), teremos:

|2....1....1|2....1|
|3....2....1|3....2| = 0 ---- desenvolvendo, teremos:
|x....y.....1|x.....y|

2*2*1 + 1*1*x + 1*3*y - [x*2*1 + y*1*2 + 1*3*1] = 0
4 + x + 3y - [2x + 2y + 3] = 0 --- retirando-se os colchetes, ficaremos:
4 + x + 3y - 2x - 2y - 3 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
-x + y + 1 = 0 ---- para que o "x" não fique negativo, poderemos multiplicar ambos os membros por "-1", com o que ficaremos assim:

x - y - 1 = 0 <-- Esta é a resposta. Esta é a equação geral pedida da reta da sua questão, que encontramos com a utilização de matriz.

Bem, a resposta já está dada, quando encontramos a equação geral da reta por meio de matriz. Mas se você não quisesse encontrar por meio de matriz, então poderia utilizar a fórmula de encontrar a equação de uma reta a partir de dois pontos por onde ela passa. Os pontos são, como vistos: A(2; 1) e  B(3; 2).
Vamos encontrar o coeficiente angular (m), que será encontrado assim:

m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) ---- Assim, fazendo as devidas substituições teremos:

m = (2-1)/(3-2)
m = 1/1 ---- ou apenas:
m = 1 <--- Este é o coeficiente angular da reta que passa nos pontos A e B acima.

Agora vamos encontrar a equação reduzida da reta, que é dada por (note que basta escolher um dos pontos dados. Vamos escolher o ponto A(2; 1) ):

y - y₁ = m*(x - x₁) ---- fazendo as devidas substituições, teremos:
y - 1 = 1*(x - 2) ---- ou, o que é a mesma coisa:
y - 1 = x - 2 ---- vamos passar todo o 1º membro para o 2º, ficando:
0 = x - 2 - y + 1 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficamos com:
0 = x - y - 1 ----- vamos apenas inverter, ficando:
x - y - 1 = 0 <--- Veja que a equação é a mesma, quer a encontremos por matriz, quer encontremos com a utilização do coeficiente angular.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.