Question

Determine o ponto n simetrico de m (2,4) em relação a reta r de equação x-y-6=0. (Por favor, quem responder, me explica o porque de cada coisa, quero realmente entender).

Answer 1

Boa noite.

A reta r pode ser escrita em sua forma reduzida: $y=x-6$ . Para o ponto ser simétrico, ele deve ter a mesma distância de M à reta r. Acontece que existem infinitos pontos com essa mesma distância. Felizmente, podemos determinar o único ponto pelo seguinte: a reta que possui M e N deve ser perpendicular à r para que tenhamos a mesma distância dos pontos à reta e que ocorra de serem simétricos. Note: a simetria está sempre relacionada à uma reta perpendicular.

Essa reta perpendicular deve passar por M e ter coeficiente angular oposto e inverso de r, logo, seu CA deve ser -1.

$s: \ y = -x + b$

Por passar por M(2, 4):

$4=-2+b\to \ b = 6$

$y = -x+6$

Calculamos sua interseção com r:

$y = -x + 6 = x-6\\ 2x = 12\\ x = 6\\ \\ y = x - 6\\ y = 6 - 6\\ y = 0$

Temos o ponto de interseção $P(6, \ 0)$

Esse ponto P é o médio de M e N, pois tanto M quanto N terão mesma distância a r e essa distância será mínima.

$x_P=\dfrac{x_M+x_N}{2}\\ \\ 6 = \dfrac{2+x_N}{2}\\ \\ 12=2+x_N\\ \\ \boxed{x_N=10}$

$y_P=\dfrac{y_M+y_N}{2}\\ \\ 0= \dfrac{4+y_N}{2}\\ \\ \boxed{y_N=-4}$

Temos, então, o ponto N simétrico:


$\boxed{N(10,-4)}$