Question

Os elementos do espaço vetorial V são chamados de vetores, independentemente de sua natureza, por meio das operações de adição entre vetores e multiplicação de vetor por escalar, obedecendo as propriedades a seguir. Propriedades: ( u + v) + w = u + ( v + w) u + v = v + u Existe 0 Є V tal que u + 0 = u. (0 é chamado vetor nulo.) Existe u Є V tal que u + ( -u) = 0. a( u + v) = au + av (a + b)v = av + bv (ab)v = a(bv) 1u = u Lembrando que para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas, e ao multiplicar um número escalar por um vetor fazemos a distributividade. A partir dessas informações verifique os oito axiomas(propriedades) citados e conclua se o espaço V= IR3 = {(x, y, z)/ x, y e z IR} é vetorial ou não vetorial. Observação: Os vetores serão criados pelo aluno dentro da informação citada. E a questão deverá apresentar a resolução para comprovar a veracidade das propriedades.

Answer 1

Respeitando a formação V = (x,y,z)

u = (x1,y1,z1) , v = (x2,y2,z2)  , w = (x3,y3,z3)

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Aplicando as propriedades ...

1..............( u + v) + w = u + ( v + w)

[(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)]+(x3,y3,z3) = (x1,y1,z1)+[(x2,y2,z2)+(x3,y3,z3)

[(x1+x2,y1+y2,z1+z2)]+(x3,y3,z3)] = (x1,y1,z1)+[(x2+x3,y2+y3,z2+z3)]

(x1+x2+x3,y1+y2+y3,z1+z2+z3) = (x1+x2+x3,y1+y2+y3,z1+z2+z3)

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2............u + v = v + u

(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2) = (x2,y2,z1)+(x1,y1,z2)

(x1+x2,y1+y2,z1+z2) = (x1+x2,y1+y2,z1+z2)

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3.............Existe 0 Є V tal que u + 0 = u. (0 é chamado vetor nulo.)

vetor nulo = (0,0,0)

(x1,y1,z1) + (0,0,0) = (x1,y1,z1)

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4.........Existe -u Є V tal que u + ( -u) = 0.

vetor -u = -(x1,y1,z1) = (-x1,-y1,-z1)

u + (-u)

(x1,y1,z1) + (-x1,-y1,-z1) 

(x1-x1,y1-y1,z1-z1) = (0,0,0)

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5............a( u + v) = au + av

a.[(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)] = a.(x1,y1,z1) + a.(x2,y2,z2)

(ax1,ay1,az1) + (ax2,ay2,az2) = (ax1,ay1,az1) + (ax2,ay2,az2) 

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6..........(a + b)v = av + bv

(a+b).(x2,y2,z2) = a.(x2,y2,z2) + b(x2,y2,z2)

(ax2,ay2,az2) + (bx2,by2,bz2) = (ax2,ay2,az2) + (bx2,by2,bz2)

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7......(ab)v = a(bv)

(ab).(x2,y2,z2) = a.[b.(x2,y2,z2)]

a.b(x2,y2,z2) = a.(bx2,aby2,bz2)

(abx2,aby2,abz2) = (abx2,aby2,abz2)

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8.....1u = u

1.(x1,y1,z1) = (x1,y1,z1)                                   ok