Question

A venda de x milhares de unidades de um determinado CD Rom produzido para microcomputadores Compaq gera uma receita dada por R(x) = 7x – x 2 unidades monetárias. O custo para produzir estas unidades é expresso por C(x) = x + 5 unidades monetárias. Nestas condições, o nível de produção x para que o lucro seja máximo é:

Answer 1

A renda obtida com a venda de x milhares de unidades é dada por

$R(x) = 7x - x^2$

O custo de produção de x milhares de unidades é dado por

$C(x)=x+5$

O lucro, que chamaremos de L(x), é a diferença entre a renda R(x) e o custo C(x):

$L(x)=R(x)-C(x) \\ \therefore L(x) = (7x - x^2 ) - (x+5) = 7x - x^2 - x - 5 \\ \therefore L(x) = - x^2 + 6x - 5$

Existem ao menos duas maneiras de obter o valor de x para o qual o lucro L(x) é máximo. A primeira, que não envolve cálculo, consiste em reconhecer que L(x) é uma parábola côncava para baixo e, portanto, atinge um valor máximo na abscissa do vértice, $x_m$, que é dada por 

$x_m = -\frac{b}{2a}$

Lembrando que estamos falando de uma equação do tipo $f(x) = ax^2 + bx +c$. No presente caso, temos b = 6 e a = -1. Portanto,

$x_m = -\frac{b}{a} = -\frac{6}{2(-1)} = 3$

Portanto, o lucro da empresa será máximo quando esta produzir $x_m = 3$ milhares de unidades.

No segundo método, por sua vez, utilizamos cálculo infinitesimal, isto é, derivamos L(x) e o igualamos a zero. A derivada é

$\frac{d}{dx}L(x) = -2x +6$

Em seguida, igualamos L'(x) a zero para obter o número de milhares de unidades $x_m$ em que o lucro é máximo:

$L'(x)=-2x +6 =0 \rightarro \\ -2 x_m + 6 =0 \\ x_m = 3$

O lucro da empresa será máximo quando esta produzir $x_m = 3$ milhares de unidades. O resultado é idêntico ao resultado do método anterior, como esperado.