Question

38) - (FESP) Há 7 pontos distintos em um plano. Se somente 3 deles são colineares, então existem "n" triângulos com vértices naqueles pontos e :

a) n = 40
b) n = 35
c) n = 34
d) n = 30
e) n = n.d.a

Answer 1

 Olá Vitor!

 Sejam A, B, C, D, E, F e G os pontos distintos do plano. Se ligarmos três pontos entre si, então iremos obter um triângulo (afinal, teremos três vértices). Como exemplo, tome os pontos ABC e ABD; mas, atente-se para o fato de ABC = ACB = BAC = BCA = CAB = CBA. Portanto, não devemos contar todas combinações, e sim APENAS uma delas (pois são iguais).

 Isto posto, devemos determinar a quantidade de combinações dos sete pontos tomados três a três. Segue,

$\\ \mathsf{C_{n, p} = \frac{n!}{p!(n - p)!}} \\\\\\ \mathsf{C_{7, 3} = \frac{7!}{3!4!}} \\\\\\ \mathsf{C_{7, 3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3 \cdot 2 \cdot 1 4!}} \\\\ \mathsf{C_{7, 3} = 7 \cdot 5} \\\\ \mathsf{C_{7, 3} = 35}$

 MAS, de acordo com o enunciado, há três pontos colineares (alinhados); então, devemos desconsiderar uma combinação! Lembre-se: três pontos alinhados não determinam um triângulo.

 Logo,

$\\ \mathsf{35 - 1 =} \\\\ \boxed{\mathsf{34}}$