Question

Mostre que o produtode um natural K com seu sucessor é um múltiplo de 2.Mostre que se N é um número ímpar, então N aoquadrado - 1 é divisível por 8.Sugestão; use o item 1.

Answer 1

Temos um natural K e seu sucessor K+1. Note que se K é par então K+1 é ímpar e vice-versa.

Os números pares podem ser escritos como 2n, com n ∈ N.
Os números ímpares podem ser escritos com 2n + 1, com n ∈ N.

Ao multiplicar um número par com um número ímpar, teremos:

(2n) * (2n + 1) = 4n² + 2n = 2n * (2n + 1)

Veja que o resultado, sempre será um número múltiplo de 2.

Agora vejamos o que acontece quando elevamos um número ímpar ao quadrado e subtrimos 1.

(2n + 1)² - 1 =
4n² + 4n + 1 - 1 =
4n² + 4n =
4n * (n + 1) = 
4 * n * (n + 1)

Pelo item 1, vimos que a multiplicação de um número (n) pelo seu sucessor (n + 1) é divisível por 2. Portanto temos acima um número que é divisível por 4 e por 2 ao mesmo tempo. Assim, concluímos que é divisível por 8.