• Matéria: Matemática
  • Autor: suellenlemos6336
  • Perguntado 8 anos atrás

Provar( demonstrar) que a raiz cubica de 2 é irracional.

Respostas

respondido por: Anônimo
3
Se tratando de raízes ... 

A raiz de qualquer número inteiro, se não exata, se torna então irracional. 

Ex : 

∛8 = 2  , pois 2 x 2 x 2 = 4 x 2 = 8 

ou decompondo ... 

8/2
4/2
2/2
1

8 = 2³ 

∛8 = ∛2³ = 2 

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De cara percebemos que 2 é primo ! então é impossível que possua uma raiz exata .  

decompondo .. 

2/2


2 = 2¹ 

∛2¹                       como o 1 é diferente do 3 não podemos cancelar ... 

por isso é irracional .                                   ok 
respondido por: Surgiozoa
13

Demonstração passo-a-passo:

Suponha, por absurdo, que ³√2 é racional. Segue que, ³√2 = p/q, com p, q ∈ ℤ. Logo, ³√2 = p/q ⇒ 2 = p³/q³ ⇒ p³ = 2q³ (1).

Agora, suponha que p e q não possuem fatores em comum. Se possuírem, seja mdc (p,q) = k, com k ∈ ℤ. Logo, pode-se reescrever p/k = a e q/k = b. Se p e q possuírem mais de um fator em comum, é só simplificar a equação, da mesma forma que simplificamos p e q.

Logo, de (1), segue que p³ é par, ou seja, podemos escrever p = 2k, com k ∈ ℤ⁺. Substituindo em (1), temos que:

p³ = 2q³

⇒ (2k)³ = 2q³

⇒ 8k³ = 3q³

⇒ 8/3 × k³ = q³

⇒  2 × 4/3 × k³ = q³ (2).

De (2), segue que q³ é par, contradição, pois supomos que p e q não possuíam fator em comum. Logo, o absurdo está em afirmar que ³√2 é racional. Portanto, ³√2 é irracional ☐

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