Question

(fgv-2009) Carlos tem oito anos de idade. É um aluno brilhante, porém comportou-se mal nas aula, e a professora mandou-o calcular a soma dos mil primeiro números ímpares. Carlos resolveu o problema em dois minutos, deixando a professora impressionada. A resposta correta encontrada por Carlos foi: a) 512.000b) 780.324c) 1.000.000d) 1.210.020e) 2.048.000

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Camila, que é bem simples.

Note que os 1.000 primeiros números itens começa do "1" e, assim, de duas em duas unidades vai até o milésimo número ímpar.
Dessa forma, teremos uma PA com a seguinte conformação:

(1; 3; 5; 7; ...........).

Veja que temos aí em cima uma PA cujo primeiro termo (a₁) é igual a "1" e cuja razão (r) é igual a "2", pois os números ímpares ocorrem de duas em duas unidades.

Vamos calcular qual é o milésimo termo pela fórmula do termo geral de uma PA, que é dada assim:

an = a₁ + (n-1)*r

Na fórmula acima, substituiremos "an" por "a₁₀₀₀", pois estamos querendo encontrar qual é o valor do milésimo termo da PA. Por sua vez, substituiremos "a₁" por "1", que é o primeiro termo da PA. Por seu turno, substituiremos "n" por "1.000", já que queremos encontrar qual é o milésimo termo. E, finalmente, substituiremos "r" por "2", que é o valor da razão da PA.
Assim, fazendo essas substituições, teremos:

a₁₀₀₀ = 1 + (1.000-1)*2
a₁₀₀₀ = 1 + (999)*2 ---- veja que 999*2 = 1.998 . Assim:
a₁₀₀₀ = 1 + 1.998
a₁₀₀₀ = 1.999 <--- Este é o valor do milésimo termo número ímpar.

Agora vamos à soma de todos esses termos, ou seja, vamos à soma dos 1.000 primeiros números ímpares. Note que a fórmula dos "n" primeiros números de uma PA é dada por:

Sn = (a₁+an)*n/2

Na fórmula acima substituiremos "Sn" por "S₁₀₀₀", pois estamos querendo saber qual é a soma dos 1.000 primeiros números ímpares. Por sua vez, substituiremos "a₁" por "1", que é o 1º termo da PA. Por seu turno, substituiremos 'an" por "a₁₀₀₀" e que já sabemos que é "1.999". E, finalmente, substituiremos "n" por "1.000", pois estamos trabalhando com a soma dos 1.000 primeiros números ímpares.
Assim, fazendo essas substituições, teremos:

S₁₀₀₀ = (1 + 1.999)*1.000/2
S₁₀₀₀ = (2.000)*500 ----- veja que este produto dá exatamente "1.000.000". Logo:

S₁₀₀₀ = 1.000.000 <--- Esta é a resposta. Opção "c". Esta foi a resposta correta encontrada por Carlos.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.