Question

(Fuvest) O número real x que satisfaz a equação log2 (12 - 2x) = 2x é:
a) log2 5
b) log2 √3
c) 2
d) log2 √5
e) log2 3

Answer 1

Boa tarde.


Vamos usar a definição de logaritmos:

$\boxed{\boxed{\mathsf{log_a b = c\iff a^c = b}}}$

$\mathsf{log_2(12-2^x)=2x\iff 2^{2x}=12-2^x,\ \ x\ \textless \ log_2{12}}}$

Note que coloquei a condição de existência do logaritmo. Hoje em dia poucos vestibulares vão querer que você valide as soluções de uma equação logarítmica, mas é sempre bom saber que o logaritmando deve ser positivo.

$\mathsf{(2^x)^2=12-2^x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{tomamos } \ 2^x=y\\ \\ \mathsf{y^2=12-y} \\ \\ \mathsf{y^2+y-12=0}$

Poderíamos usar a fórmula de Bháskara, mas é mais simples notarmos que 3 e -4 tem soma -1 e produto -12, e por isso satisfazem à equação em y, sendo y' = 3 e y'' = -4. Agora voltamos para a variável inicial:

$\mathsf{2^x = y}\\ \\ \mathsf{2^x = 3 \ \ \ ou \ \ \ \underbrace{2^x = -4}_{imposs\acute i vel}}\\ \\ \\ \mathsf{2^x = 3}\\ \\ \mathsf{log_22^x = log_23}\\ \\ \boxed{\mathsf{x=log_23}}$


Note que $\mathsf{log_23\ \textless \ log_212}$  , então nossa solução está dentro do domínio!


Alternativa E.