Question

determine a área do retângulo máximo, com base no eixo dos x e vértices superiores sobre a parábola y=12-x²:
OBS: assunto valores máximos e mínimos de uma função

Answer 1

Bom dia.

Como temos uma parábola, ela é simétrica em relação à reta perpendicular a x que passa pelo seu vértice, logo, será simétrica em relação a x = 0.

Sabendo disso, para termos um retângulo, seus vértices inferiores devem ter uma distância igual de x, ou seja, devem ter coordenadas $(-a, 0) \ \ \ \ e \ \ \ (a, 0)$ , o que faz que tenha uma base 2a.

Assim, cada ponto terá a mesma imagem que será:

$f(-a)=f(a)=12-a^2$

Então a área do retângulo será sua base multiplicada pela altura.

$A(a)=2a\cdot(12-a^2)\\ \\ A(a)=24a-2a^3$

Vamos encontrar os pontos críticos:

$A'(a)=24-6a^2=0\\ \\ 6a^2=24\\ a^2=4\\ \\ a=\pm2$

Note que 2 é o ponto máximo local pelo estudo do sinal de A'(a).

Assim, sua área será máxima em 2. Se substituirmos, teremos:

$A(a)=24a-2a^3\\ \\ A(2)=24\cdot2-2\cdot 2^3\\ \\ A(2)=48-16\\ \\ \boxed{A(2)=32}$

A área máxima será de 32 UA.