Question

Determine o vetor w ∈ R3 tal que v seja ortogonal ao eixo y e u = w × v, onde u = (1, 1, −1) e v = (2, −1, 1)

Answer 1

Antes, é preciso notar que há erros no enunciado, mais de uma vez, é trocado "v" por "w".

Pra ficar mais claro, segue o enunciado original:

"Determinar v tal que v seja ortogonal ao eixo y e u= v x w sendo u=(1, 1, -1) e w = (2, -1, 1)"

Seja v=(x,y,z), para que o vetor "v" seja ortogonal ao eixo "y", o produto escalar entre "v" e o vetor (0,1,0), que dá a direção do eixo "y", deve valer 0.

Sendo assim, temos:

$\vec{v}\cdot(0,1,0)~=~0\\\\\\(x,y,z)\cdot(0,1,0)~=~0\\\\\\x\cdot0~+~y\cdot1~+~z\cdot0~=~0\\\\\\0~+~y~+~0~=~0\\\\\\\boxed{y~=~0}$

Passando para a próxima informação do texto, temos que o produto vetorial entre os vetores "v" e "w" deve ser igual ao vetor "u", logo:

$\vec{v}\times\vec{w}~=~\vec{u}\\\\\\\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\x&y&z\\2&-1&1\end{array}\right|~=~(1,1,-1)\\\\\\Vamos~decompor~\vec{u}\\\\\\\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\x&0&z\\2&-1&1\end{array}\right|~=~1\cdot \hat{i}~+~1\cdot\hat{j}~+~(-1)\cdot\hat{k}\\\\\\Calculando~o~produto~vetorial$

$\hat{i}\cdot(0\cdot1+1\cdot z)~+~\hat{j}\cdot(z\cdot2-1\cdot x)+\hat{k}\cdot(x\cdot(-1)-0\cdot2)~=~1\cdot \hat{i}~+~1\cdot\hat{j}~+~(-1)\cdot\hat{k}$

$z\cdot\hat{i}~+~(2z-x)\hat{j}~+~(-x)\hat{k}~=~1\cdot \hat{i}~+~1\cdot\hat{j}~+~(-1)\cdot\hat{k}\\\\\\Igualando~as~componentes, temos:\\\\\\\left\{\begin{array}{ccc}z&=&1\\2z-x&=&1\\-x&=&-1\end{array}\right\\\\\\Da~primeira~equacao,~temos~que~\boxed{z=1}\\Da~terceira~equacao,~ficamos~com~\boxed{x=1}\\\\\\A~segunda~equacao~nao~precisa~ser~utilizada,~no~entanto~podemos\\utiliza-la~para~comprovar~os~valores~de~z~~e~~x:$

$2z-x~=~1\\\\2\cdot(1)-(1)~=~1\\\\2-1~=~1\\\\1~=~1~\boxed{\checkmark}$

Ficamos então com o vetor v = (1 , 0 , 1).