Question

dados os pontos m(a,0) e n (0,a), determine p de modo que o triangulo MNP seja equilatero

Answer 1

Boa tarde Leticia 

sejam os pontos M(a,0) , N(0,a) 

queremos P(x,y) de modo que o Δ seja equilátero.

1°  valor dos lados

d² = (Mx - Nx)² + (My - Ny)²
d² = a² + a² = 2a²

d = √2*a

2°  distancia MP 

d² = (Mx - Px)² + (My - Py)²
d² = (a - x)² + (0 - y)²

x² - 2ax + a² + y² = 2a²
x² + y² - 2ax - a² = 0 

3°  distancia NP 

d² = (Nx - Px)² + (Ny - Py)²
d² = (0 - x)² + (a - y)²

x² + a² - 2ay + y² = 2a²
x² + y² - 2ay - a² = 0

x² + y² - 2ax - a² = 0 
x² + y² - 2ay - a² = 0 

⇒ x = y ⇒ P(x,x)

distancia MP

d² = (Mx - Px) + (My - Py)²
d² = (a - x)² + (0 - x)²
d² = a² - 2ax + x² + x² = 2a²

caimos sobre uma equaçáo do 2° grau

2x² - 2ax - a² = 0 

delta
d² = 4a² + 8a² = 12a²
d = 2√3a

x1 = (2a + 2√3a)/4 = a + √3a = (1 + √3)*a/2
x2 = (2a - 2√3a)/4 = a - √3a = (1 - √3)*a/2

temos dois pontos P

P1( (1 + √3)*a/2, (1 + √3)*a/2 )
P2( (1 - √3)*a/2, (1 - √3)*a/2 ) 

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