Question

1)Justifique porque os vetores u= (1,a,2), v= (a,0,3) e w= (0,2,3) sempre
formam uma base para o R3

2) Escreva w= (4,5,3) como combinação linear de u= (2,1,3) e v = (0,1,–1).

3) Qual deve ser o valor de a para que o vetor w = (1,a,5) seja combinação
linear de u = (1,–3,2) e v= (2,–1,1)?

Answer 1

1)
Para que três vetores sejam base de R³, devem ser linearmente independentes, ou seja, seu produto misto deve ser diferente de zero. Vamos calcular o produto misto dos vetores:

$[u, v, w]= \left[\begin{array}{ccc}1&a&2\\a&0&3\\0&2&3\end{array}\right] =1*(0-6)+a*(0-3a)+2*(2a-0)=\\\\=-6-3a^2+4a=-3a^2+4a-6$

Note que o produto misto no leva a uma equação de 2° grau que depende de a. Vamos verificar se é possível que a equação seja igual a zero.

-3a² + 4a - 6 = 0

Δ = 4² - 4 * (-3) * (-6) = 16 - 72 = -56

Como o Δ da equação é negativo, essa equação não possui raízes, portanto qualquer que seja o valor de "a" o produto misto será diferente de zero. Portanto, os três vetores dados são linearmente independentes e, assim, formam sempres uma base para R³.

2)
Vamos considerar dois coeficientes "a" e "b" de forma que possamos escrever a seguinte combinação linear

au + bv = w

Assim, teremos:

au + bv = w
a*(2, 1, 3) = b*(0, 1, -1) = (4, 5, 3)

Assim, podemos definir um sistema com três equações e duas icógnitas.

2a + 0b = 4
1a + 1b = 5
3a - 1b = 3

Pela primeira equação, definimos o valor de "a"

2a + 0b = 4
2a = 4
a = 2

Substituindo o valor de "a" na segunda equação, definimos o valor de "b".

1a + 1b = 5
2 + b = 5
b = 5 - 2
b = 3

Agora, verificamos a exatidão da terceira equação:

3a - 1b = 3
3*2 - 3 = 3
6 - 3 = 3
3 = 3

Portanto, temos que:

a = 2
b = 3

Portanto, a combinação linear de u e v que resulta em w é:

au + bv = w
2u + 3v = w

3)
Para que w seja combinação linear de u e v, os três vetores devem ser liearmente dependentes, ou seja, o produto misto entre os três vetores deve ser igual a zero. Vamos determinaro p roduto misto e igualar a zero.

$[u, v, w]=0\\\\ \left[\begin{array}{ccc}1&-3&2\\2&-1&1\\1&a&5\end{array}\right] =0\\\\1*(-5-a)-3*(1-10)+2*(2a+1)=0\\\\-5-a+27+4a+2=0\\\\3a-24=0\\\\3a=24\\\\a=8$

Portanto, para que w, seja combinação linear de u e v, o valor de a deve ser 8.