Question

Use indução sobre os naturais para mostrar que

|– 1² + 2² – 3² + ... + (– 1)^n · n²| = 1 + 2 + ... + n

ou seja,
$\mathsf{\displaystyle\left|\sum_{k=1}^n (-1)^k\cdot k^2\right|=\sum_{k=1}^n k.}$

(o módulo da soma alternada dos quadrados dos n primeiros naturais é igual à soma dos n primeiros naturais).

Answer 1

Olá.

Temos:
$\mathsf{| -1^2 + 2^2 - 3^2 + ... + (-1)^n \cdot n^2 | = 1 + 2 + 3 + ... + n}$

A soma dos termos de uma sequência numérica é dado pela fórmula:
$\mathsf{S_n=\dfrac{(n+1)n}{2}}$

Sabendo disso, crio a hipótese, onde n = k:
$\mathsf{P(k)= | -1^2 + 2^2 - 3^2+ ... + (-1)^k\cdot k^2 | = \dfrac{(k+1)k}{2}}$

Vamos testar para saber se realmente funciona.

Para k = 3.
$\mathsf{P(3)=|-1^2+2^2-3^2|=\dfrac{(3+1)3}{2}}\\\\\mathsf{P(3)=|-1+4-9|=\dfrac{(4)3}{2}}\\\\\mathsf{P(3)=|+3-9|=\dfrac{12}{2}}\\\\\mathsf{P(3)=|-6|=6}\\\\\boxed{\mathsf{P(3)=6=6 }~\checkmark}$

Para k = 4.
$\mathsf{P(4)=|-1^2+2^2-3^2+4^2|=\dfrac{(4+1)4}{2}}\\\\\mathsf{P(4)=|-1+4-9+16|=\dfrac{(5)4}{2}}\\\\\mathsf{P(4)=|+3+7|=\dfrac{20}{2}}\\\\\mathsf{P(4)=|+10|=10}\\\\\boxed{\mathsf{P(4)=10=10~\checkmark}}$

Para k = 5.
$\mathsf{P(5)=|-1^2+2^2-3^2+4^2-5^2|=\dfrac{(5+1)5}{2}}\\\\\mathsf{P(5) = | -1 + 4 - 9 + 16 - 25 | =\dfrac{(6)5}{2}}\\\\\mathsf{P(5) = | +3 + 7 - 25 | =\dfrac{30}{2}}\\\\\mathsf{P(5) = | +10 - 25 | = 15}\\\\\mathsf{P(5) = | - 15 | = 15}\\\\\boxed{\mathsf{P(5)=15=15~\checkmark}}$

Para k = 6.
$\mathsf{P(6)=|-1^2+2^2-3^2+4^2-5^2+6^2|=\dfrac{(6+1)6}{2}}\\\\\mathsf{P(6) = | -1 + 4 - 9 + 16 - 25 +36 | =\dfrac{(7)6}{2}}\\\\\mathsf{P(6) = | +3 + 7 +11 | =\dfrac{42}{2}}\\\\\mathsf{P(6) = | +21 | = 21}\\\\\boxed{\mathsf{P(6)=21=21~\checkmark}}$

Assumindo a hipótese de P(k) como verdade, a tese é que vai funcionar para qualquer número seguido de k, ou seja, servirá para qualquer k+1:

$\mathsf{P(k+1)= | -1^2 + 2^2 - 3^2 + ... + (-1)^k \cdot k^2 + (-1)^{k + 1} \cdot (k + 1)^2 | = \dfrac{( (k + 1) + 1)(k + 1)}{2}}\\\\\mathsf{P(k+1)= | -1^2 + 2^2 - 3^2 + ... + (-1)^k \cdot k^2 + (-1)^{k + 1} \cdot (k + 1)^2 | =\dfrac{(k + 1 + 1)(k + 1)}{2}}\\\\\mathsf{P(k+1)= | -1^2 + 2^2 - 3^2 + ... + (-1)^k \cdot k^2 + (-1)^{k + 1} \cdot (k + 1)^2 | =\dfrac{(k +2)(k+1)}{2}}$

Desenvolvemos até aqui apenas o lado direito, referente a soma desses termos.

Por causa do (-1)^k, será necessário pensar nas seguintes propriedades de potências:

¹Todo número negativo elevado a expoente par, por regra, se torna positivo;
²Todo número negativo elevado a expoente ímpar, por regra, permanece negativo.

Assim, temos que:

¹ - k par terá (-1)^k • k² positivo;
¹ - k par terá (-1)^(k + 1) • (k + 1)² negativo.

² - k ímpar terá (-1)^k • k² negativo.
² - k ímpar terá (-1)^(k+1) • (k + 1)² positivo.

Ao observar os casos testados, foi possível notar que o sinal final da soma dentro do módulo depende do último número da sequência.
Quando o último foi par, o resultado final dentro do módulo foi par, assim como ocorreu o contrário.

No caso do nosso teste, com k + 1, teremos que o último termo dependerá se o k for ímpar ou par.
Quando ímpar, o final será par, assim como quando for par, o final será ímpar.

Assim, temos dois casos específicos, onde buscaremos o valor absoluto.

(Substituiremos o valor da soma pelo que assumimos como verdade em nossa hipótese, junto do que foi observado e detalhado acima).

Para k par:

$\mathsf{P(k+1)= \left| \dfrac{(k+1)k}{2} + (-1) \cdot (k + 1)^2 \right| = \dfrac{(k + 2)(k + 1)}{2}}\\\\\mathsf{P(k+1)= \left| \dfrac{(k^2+k)}{2} + (-1) \cdot (k^2 + 2k + 1) \right|= \dfrac{(k + 2)(k + 1)}{2}}\\\\\mathsf{P(k+1)= \left| \dfrac{(k^2+k)}{2} + (-k^2 - 2k - 1) \right| = \dfrac{(k + 2)(k + 1)}{2}}\\\\\mathsf{P(k+1)= \left| \dfrac{(k^2+k) + 2(-k^2- 2k - 1)}{2} \right| = \dfrac{(k + 2)(k + 1)}{2}}\\\\\mathsf{P(k+1)= \left| \dfrac{k^2+k - 2k^2- 4k - 2}{2} \right| = \dfrac{(k + 2)(k + 1)}{2}}\\\\\mathsf{P(k+1)= \left| \dfrac{-k^2 - 3k - 2}{2} \right| = \dfrac{(k + 2)(k + 1)}{2} }$

Tiramos do módulo com o valor absoluto:
$\mathsf{P(k+1)= \dfrac{k^2 + 3k + 2}{2} = \dfrac{(k + 2)(k + 1)}{2}}$

Fatorando o lado esquerdo como equação de segundo grau, teremos:
$\boxed{\mathsf{P(k+1)= \dfrac{(k + 2)(k + 1)}{2}= \dfrac{(k + 2)(k + 1)}{2}~\checkmark}}$

Para k ímpar:

$\mathsf{P(k+1)= \left| -\dfrac{(k+1)k}{2} + (1) \cdot (k + 1)^2 \right| = \dfrac{(k + 2)(k + 1)}{2}}\\\\\mathsf{P(k+1)= \left| -\dfrac{k^2+k}{2} + (k^2 + 2k + 1) \right| = \dfrac{(k + 2)(k + 1)}{2}}\\\\\mathsf{P(k+1)= \left| \dfrac{-k^2 -k + 2(k^2 + 2k + 1)}{2} \right| = \dfrac{(k + 2)(k + 1)}{2}}\\\\\mathsf{P(k+1)= \left| \dfrac{-k^2 -k + 2k^2+ 4k + 2}{2} \right| = \dfrac{(k + 2)(k + 1)}{2}}\\\\\mathsf{P(k+1)= \left| \dfrac{k^2 + 3k + 2}{2} \right| = \dfrac{(k + 2)(k + 1)}{2}}$

Tiramos do módulo com o valor absoluto:
$\mathsf{P(k+1)= \dfrac{k^2 + 3k + 2}{2}= \dfrac{(k + 2)(k + 1)}{2}}$

Fatorando o lado esquerdo como equação de segundo grau, teremos:
$\boxed{\mathsf{P(k+1)= \dfrac{(k + 2)(k + 1)}{2}= \dfrac{(k + 2)(k + 1)}{2}~\checkmark}}$

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.