Question

Dada a equação vetorial da reta r: (x,y,y) = 2,4,5 + t(7,-6,1), como construir outra equação vetorial de uma nova reta que passa pelo ponto C(4,-5,2) que seja perpendicular a reta r?

Answer 1

Olá

r: (x,y,z) = (2,4,5) + t(7,-6,1)

Vetor normal da reta r:
u = (7,-6,1)
Ponto da reta r
p = (2,4,5)


Ponto C=(4,-5,2)

Ja temos um vetor (u), então vamos criar um segundo vetor, a partir dos 2 pontos (p) e (c)

PC = C-P = (4,-5,2) - (2,4,5) → v = (2,-9,-3)

Ao fazermos o produto vetorial entre dois vetores, ele resulta um vetor que é perpendicular aos dois vetores.

Fazendo o produto vetorial entre u e v

$\vec{u}\times\vec{v}= \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\7&-6&1\\2&-9&-3\end{array}\right] \\\\\\\mathsf{\vec{w}=\underbrace{(\mathsf{18i+2j-63k})}_{diag.~principal}~-~\underbrace{(\mathsf{-21j-9i-12k})}_{diag.~secund\'aria}}\\\\\\\mathsf{\vec{w}=27i+23j-51k}\\\\\mathsf{\vec{w}=(27,23,-51)}$

Temos 1 ponto (c) e 1 vetor (w), podemos criar uma reta

r: (x,y,z) = (4,-5,2) + λ(27,23,-51)   ,                         λ ∈ R