Question

Sendo senx=1/4 e π/2 < x < pi , calcule cos(x-π/3)

Answer 1

Sendo sen(x) = 1/4 e π/2  < x < π,(x no segundo quadrante), temos sen(x) > 0 e cos(x) < 0 !

sen(x)² + cos(x)² = 1 ⇒ Sendo sen(x) = 1/4 :

(1/4)² + cos(x)² = 1

1/16 + cos(x)² = 1 

cos(x)² = 1 - 1/16 

cos(x)² = (1 * 16 - 1) /16

cos(x)² = 15 / 16

cos(x) = √(15 / 16)

cos(x) = √15 / √16  ⇒ Devido ao intervalo, cos(x) < 0 :

cos(x) -√15 / 4
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Sendo π → 180°, (π/3) → (180 / 3) = 60º

sen(60º) = √3 / 2 e cos(60º) = 1/2 (Ângulo notável)

Por fim, diferença de arcos :

cos(A - B) = cos(A) * cos(B) + sen(A) * sen(B) 

Sendo A = x e B = π/3 (60°), tem-se :

cos(A) → cos(x) = -√15 / 4;
sen(A) → sen(x) = 1 / 4;
cos(B) → cos(60º) = 1 / 2
sen(B) → sen(60º) = √3 / 2...

cos(x - π/3) = (-√15 /4 * 1 / 2) + (1 /4 * √3 / 2)

cos(x - π/3) = -√15 / 8 + √3 / 8

cos(x - π/3) = (-√15 + √3) / 8

cos(x - π/3) = (√3 - √15) / 8 ⇒ Como √15 = √5 * √3 :

cos(x - π/3) = (√3 - √5 * √3) / 8 ⇒ √3 em evidência :

cos(x - π/3) = (√3 * (1 - √5)) / 8