Question

Quantos números inteiros existem de 1 até 10000, que não sejam divisíveis nem por 5 e nem por 7?

Answer 1

D(7) = 1001,1008,...9996 

bn = b₁ + ( n - 1)r 
9996 = 1001 + 7n - 7 
n = 1286 (divisíveis por 7) 

D(35) = 1015,1050,...9975 

Cn = c₁ + ( n - 1)r 
9975 = 1015 + 35n - 35 
n = 257(divisíveis por 5 e 7 ao mesmo tempo) 


divisíveis apenas por 5 : 1801 - 257 = 1544 
divisíveis apenas por 7 : 1286 - 257 = 1029 
divisíveis por 5 e 7 : 257 

1544 + 1029 + 257 = 2830 (divisíveis por 5 e 7) 

os que não são: 9001 - 2830 = 6171

Answer 2

Resposta:

6857

Explicação passo-a-passo:

• Divisíveis por 7 = {7,14,21,...,9989,9996}

Estes formam uma PA de razão 7. Aplicando a formula($\alpha n=\alpha 1+(n-1)r$) para ela fica:

$\alpha n=7+(n-1)7$

Resolvendo esta equação para descobrir o valor do enésimo termo encontramos o seguinte numero de divisores por 7.

1. Encontramos o valor do último termo ⇒ $\frac{10000}{7} = 1428+4$ ∴ o último termo é $1428*7=9996$
2. Aplicamos na fómula ⇒ $9996=7+(n-1)7$ ⇒ $9996=7+7n-7$ ⇒ $9996=7n$ ⇒$n=\frac{9996}{7}$ ∴ $n=1428$

• Divisíveis por 5 = {5,10,...,9995,10000}

Estes formam uma PA de razão 5. Aplicando a formula -da PA- para ela fica:

$\alpha n=5+(n-1)5$

Resolvendo esta equação para descobrir o valor do enésimo termo encontramos o seguinte número de divisores por 5.

1. Encontramos o valor do último termo ⇒ $\frac{10000}{5} = 2000$, como a soma é exata o último termo é o proprio 10.000.
2. Aplicamos na fórmula ⇒ $10000=5+(n-1)5$ ⇒ $10000=5+5n-5$ ⇒ $10000=5n$ ∴ $n=2000$

• Divisíveis por 5 e por 7 ao mesmo tempo. Neste caso utilizaremos o MMC dos 2 números para encontrar o conjunto intersecção. Fatorando estes encontraremos o número 35 ∴ 5 ∪ 7 = {35,70,...,9975}

1. Encontramos o valor do último termo ⇒ $\frac{10000}{35}=285+25$ ∴ o último termo é $285*35= 9975$
2. Aplicamos na fórmula ⇒ $9975=35=(n-1)35$ ⇒ $9975=35+35n-35$ ⇒ $9975=35n$ ⇒ $n=\frac{9975}{35}$ ∴ $n=285$

Agora podemos somar os conjuntos e subtrairmos do total e da intersecção de ambos:

Total de números - (divisíveis por 5 + divisíveis por 7) - intersecção de 5 e 7;

$10000-(2000+1428)-285=6857$