Question

1) Explique porque ao dividirmos qualquer número inteiro x por 4 nunca obtemos uma dízima periódica.

2) Quando dividimos um número inteiro y por 3 pode ser que o resultado seja uma dízima periódica. Em que casos o resultado é uma dízima periódica e em que casos não é? Justifique ambos.

Answer 1

Dado um inteiro $n$, temos quatro possibilidades quando o dividimos por quatro.

O resto pode ser zero, um, dois ou três.

Em outras palavras, qualquer inteiro $n$ pode ser escrito em uma das formas, $4k$, $4k+1$, $4k+2$ ou $4k+3$.

É claro que, $4k$ ao ser dividido por quatro não resulta numa dízima periódica, porque o resto da divisão é zero.

Já $4k+1$ dividido por quatro resulta em $\dfrac{4k+1}{4}=\dfrac{4k}{4}+\dfrac{1}{4}=k+0,25$.

Que também não é uma dízima.

Agora $4k+2$ ao ser dividido por quatro resulta em $\dfrac{4k+2}{4}=k+\dfrac{2}{4}=k+0,5$

Que também não é uma dízima.

Por fim, quando dividimos um número da forma $4k+3$ por quatro, obtemos $k+\dfrac{3}{4}=k+0,75$.

Que também não é uma dízima.

Pronto, provamos que, qualquer que seja o número inteiro $x$, quando o dividimos por $4$ não obtemos uma dízima periódica.

2) Prosseguindo como antes, dado um inteiro $x$ temos três possibilidades quanto ao resto da divisão de $x$ por $3$.

Se o resto for $0$, $x$ é da forma $3k$.

E é claro que $x$ dividido por $3$ não resulta numa dízima.

Se o resto for $1$, temos $x=3k+1$.

Veja que, $\dfrac{3k+1}{3}=\dfrac{3k}{3}+\dfrac{1}{3}=k+\dfrac{1}{3}$.

Note que, $\dfrac{1}{3}$ é uma dízima periódica.

Assim, se $x$ deixa resto $1$ quando dividido por $3$, obtemos uma dízima periódica quando dividimos $x$ por $3$.

Se $x$ deixa resto $2$, teremos $x=3k+2$ e

$\dfrac{3k+2}{3}=\dfrac{3k}{3}+\dfrac{2}{3}=k+\dfrac{2}{3}$

Como $\dfrac{2}{3}$ é uma dízima, se $x$ deixa resto dois quando dividido por três, o resultado da divisão de x por 3 é uma dízima periódica.

Contudo, o resultado é uma dízima periódica quando x deixa resto 1 ou 2 quando dividido por 3.

Espero ter ajudado, beijos ^^