Question

(Fgv-sp) uma pulga com algum conhecimento matemático brinca, pulando sobre as doze marcas correspondentes aos números das horas do relógio. Quando ela está sobre uma marca correspondente a um número não primo, ela pula para a primeira marca a seguir, no sentido horário. Quando ela está sobre a marca de um número primo, ela pula para a segunda marca a seguir, sempre no sentido horário. Se a pulga começa na marca do número 12, onde ela estará após o 2014o pulo?

Answer 1

Números do relógio ⇒ {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}

Números primos desse conjunto ⇒ {2; 3; 5; 7; 11}

Números não primos desse conjunto ⇒ {1; 4; 6; 8; 9; 10; 12}

A pulga tem 2014 pulos para dar. Ela começa do 12 (não primo). Seguindo a rega, o primeiro pulo que ela dá é para o 1. Vamos começar a contar a nossa sequência daí. 

Obviamente, se ela deu 1 pulo, sobraram (2014 - 1) = 2013 pulos.

Atente - se para a regra. Seguindo a regra, se ela começa do 1, ela percorre :

1 → 2 → 4 → 5 → 7 → 9 → 10 → 11 → 1 de novo (aqui, ela já deu 1 volta)

Ou seja, para ela dar 1 volta, ela pisa em 8 números {1; 2; 4; 5; 7; 9; 10; 11}.
Quando ela pisa no 1 de novo, ela completou a volta.

Ela tem ainda 2013 pulos e dá 8 pulos por volta. Logo :

2013 / 8 = 251 e resto 5, que indica a quantidade de pulos da volta incompleta. 

Logo, ela dá 251 voltas completas e mais 5 pulos.

Seguindo a sequência ⇒ {1; 2; 4; 5; 7; 9; 10; 11} :
Quando ela acabou de completar a 251ª volta, ela está pisando no 1 de novo. Como ela ainda dá mais 5 pulos, ela ainda pisa em 2, em 4, em 5, em 7 e pisa finalmente em 9. O 2014º pulo é aqui (contando aquele 1º pulo do 12 para o 1).

2014º pulo ⇒ 9.

Answer 2

Se a pulga começa na marca do número 12, ela estará no número 9 após o 2014º pulo.

Esta questão está relacionada com a proporcionalidade entre variáveis. A proporção é um valor referente a razão de dois números. Por isso, a proporção está atrelada a fração, onde temos um numerador e um denominador. Desse modo, temos uma relação de equivalência entre dois valores.

Nesse caso, vamos trabalhar com os números primos. Os números primos são aqueles que possuem apenas dois divisores: 1 e eles próprios. Note que o número 1 não é primo, pois possui apenas um divisor. Apesar de seu divisor ser 1 e ele próprio, para que um número seja primo, esses valores devem ser diferentes.

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