Question

Determine o período da função :

f(x) = 3.cos(4x) - 4.sen(3x)

Answer 1

A função

f(x) = 3 · cos(4x) – 4 · sen(3x)

é a soma de duas funções periódicas

g(x) = 3 · cos(4x)
h(x) = – 4 · sen(3x)

cujos períodos são respectivamente

T₁ = 2π/4
T₂ = 2π/3

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Qualquer múltiplo de T₁ também será um período para g(x), assim como qualquer múltiplo de T₂ também será um período para h(x).

Então, o período T de f(x) será o menor valor positivo possível de modo que

T = m · T₁ = n · T₂

sendo m, n naturais.

Como consequência direta, temos que

m/n = T₂/T₁

isto é, a razão dos períodos das funções individuais g(x) e h(x) deve ser necessariamente um número racional. Caso contrário, não seria possível encontrar T, e f não seria periódica.

Calculando essa razão para os períodos das funções dadas:

m/n = (2π/3) / (2π/4)
m/n = (2π/3) · 4/(2π)
m/n = 4/3 (é racional)

Os valores para m e n que tornam T mínimo são justamente

m = 4, n = 3.

Daqui, segue que o período de f(x) é

T = m · T₁ (ou n · T₂)
T = 4 · 2π/4
T = 2π <——— esta é a resposta.

Bons estudos! :-)