Question

(50 Pontos) Um tanque, que está na origem de um plano cartesiano, deseja atingir uma base inimiga, para isto, possui as seguintes informações:

Sua distância (Entre o tanque e a Base inimiga)= D (Em metros)
Inclinação da reta imaginária que liga o tanque a base inimiga em relação ao eixo X (Solo) (Se for para baixo, é negativo) = θ (Em graus - Círculo Trigonométrico)
Uma certa gravidade = g (Em m/s^2)

Dê a função y=f(x) (y isolado), em que x é o ângulo de lançamento de uma bomba em graus e y, a velocidade inicial em m/s da bomba, para que o tanque consiga atingir a base inimiga, utilizando-se das informações acima (Variáveis D; θ; g).

Caso seja necessário, adicione anexos relacionados à resolução, como o gráfico da trajetória do projétil e a função final.

Answer 1

Boa tarde. Vou arriscar nesse problema :)

Primeiramente, vamos analisar a horizontal, onde o corpo tem uma velocidade
$v_h = y\cdot \cos(x)$ . Para que ele atinja ao castelo, ele deve percorrer a projeção de D sobre x, ou seja, percorrerá $D\cdot\cos(\theta)$

Na horizontal, teremos um movimento uniforme, então podemos calcular o tempo do movimento:

$\Delta t = \dfrac{\Delta S}{V}=\dfrac{D\cos(\theta)}{y\cos(x)} \ \ \ \ \ (i)$

Note que tomando t inicial como zero, não precisaremos nos preocupar com a variação, e o tempo t pode ser expresso por (i).

Com isso, teremos que quando chegarmos no tempo t, o corpo já deverá ter atingido sua altura máxima e caído até atingir o castelo. Note que estamos analisando o problema em y dessa vez. A velocidade vertical é:

$v_v = y \ sen (x)$

Usemos, agora, a função da posição para calcular quando que a posição vertical(chamá-la-ei de w, para não confundirmos com todas as variáveis) será igual a $D \ sen(\theta)$ .Não vou usar o módulo por um motivo. Se a altura for negativa em relação à origem, estaríamos tentando acertar um castelo espelhado, e por isso não vamos nos preocupar com o sinal.


Queremos que $w = D sen(\theta)$ , e note que isso só ocorrerá quando tivermos a condição de tempo definida por (i), que é o tempo para a horizontal ter alcançado o castelo. Com isso, teremos o projétil na posição horizontal e vertical perfeitas.


$D sen(\theta)=v_{0_v}t-\dfrac{1}{2}\cdot g\cdot t^2\\ \\ Dsen(\theta) = ysen(x)\cdot\left(\dfrac{D\cos(\theta)}{y\cos(x)}\right)-\dfrac{g}{2}\cdot\left(\dfrac{D\cos(\theta)}{y\cos(x)}\right)^2\\ \\ \\ Dsen(\theta) = \dfrac{D\cos(\theta)sen(x)}{cos(x)}-\dfrac{g}{2}\cdot\dfrac{D^2cos^2(\theta)}{y^2cos^2(x)}\\ \\ \\ Dsen(\theta)-D\cos(\theta)\tan(x) = -\dfrac{g}{2}\cdot\dfrac{D^2\cos^2\theta)}{y^2\cos^2(x)}\\ \\ \\ \cos(\theta)\tan(x)-sen(\theta) = \dfrac{g}{2}\cdot\dfrac{D\cos^2(\theta)}{y^2\cos^2(x)}$


$y^2 = \dfrac{gD\cos^2(\theta)}{2\cos^2(x)[\cos(\theta)\tan(x)-sen(\theta)]}\\ \\ \\ \boxed{y = \dfrac{\cos(\theta)}{\cos(x)}\sqrt{\dfrac{gD}{2(\cos(\theta)\tan(x)-sen(\theta))}}}$


Bom, espero que não tenha esquecido de nada.