Question

demostré geometricamente a ingualdade (a-b)2=a2-2ab+b2, partiendo de um quadrado de lado a,

Answer 1

Sejam $\mathsf{a~\textgreater~b~\textgreater~0}$ números positivos e considere um quadrado de lado $\mathsf{a}$. Nesse quadrado, criaremos um quadrado de lado $\mathsf{a-b}$ , onde o centro desse quadrado menor coincide com o centro do quadrado de lado $\mathsf{a}$ (Veja a imagem em anexo)

Traçando segmentos auxiliares, obtemos 8 regiões. Nos cantos, temos quadrados de lado $\mathsf{\frac{b}{2}}$, pois a soma de $\mathsf{a-b}$ com 2 medidas do lado desses quadrados (digamos $\mathsf{c}$) deve resultar no lado $\mathsf{a}$:

$\mathsf{c+(a-b)+c=a~~\Leftrightarrow~~2c+a-b=a~~\Leftrightarrow~~2c=b~~\Leftrightarrow~~c=\frac{b}{2}}$

As outras 4 subregiões são retângulos de lado coincidindo com o lado do quadrado menor, dado por $\mathsf{a-b}$, e altura $\mathsf{\frac{b}{2}}$ (lado encontrado anteriormente)

Portanto, temos que

$\mathsf{A_{grande}=A_{pequeno}+4A_{1}+4A_{2}}$

Pois temos 4 quadrados nos cantos e 4 retângulos entre eles, além do quadrado menor (aqui denotei a área do quadrado de lado $\mathsf{a}$ por $\mathsf{A_{grande}}$ e a do quadrado de lado $\mathsf{a-b}}$ por $\mathsf{A_{pequeno}}$)

Então:

$\mathsf{A_{grande}=A_{pequeno}+4A_{1}+4A_{2}}\\\\\mathsf{a^{2}=(a-b)^{2}+4A_{1}+4A_{2}}\\\\\mathsf{a^{2}=(a-b)^{2}+4\cdot\big(\frac{b}{2}\big)^{2}+4\cdot(a-b)\cdot\frac{b}{2}}\\\\\mathsf{a^{2}=(a-b)^{2}+4\cdot\frac{\,b^{2}}{4}+2b\cdot(a-b)}\\\\\mathsf{a^{2}=(b-a)^{2}+b^{2}+2ab-2b^{2}}\\\\\mathsf{a^{2}=(a-b)^{2}-b^{2}+2ab}$

Isolando $\mathsf{(a-b)^{2}}$, obtemos

$\mathsf{(a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab}~~\Longleftrightarrow~~\boxed{\boxed{\mathsf{(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}}}$

Como queríamos demonstrar.