Question

Qual o valor de m para que a equação 3x² + 4x + m = 0 tenha duas raízes iguais??

Answer 1

Para ter uma única raiz real, delta precisa ser igual a 0, pois na segunda fórmula [(b +- √∆) / (2.a)], com delta igual a 0, a √∆ dará 0 e não vai importar o "+-", só vai ter um valor, portanto: 

3x² + 4x - m = 0 
a = 3; b = 4; c = m 

∆ = b² - 4.a.c 
∆ = 4² - 4.3.m 
∆ = 16 - 12m 
Se delta precisa ser igual a 0: 
0 = 16 - 12m 
12m = 16 
m = 16/12 
m = 4/3 
O valor de m deve ser 4/3 para que a equação tenha uma única raiz real. 


b) duas raizes reais distintas? 
Para ter duas raízes distintas, o valor de delta precisa ser maior do que 0. É a mesma explicação do item "a", com delta maior do que 0 a equação vai ter duas raízes distintas (uma virá do "+", outra do "-" na fórmula [(b +- √∆) / (2.a)]). 

Então: 
3x² + 4x - m = 0 
a = 3; b = 4; c = m 

∆ = b² - 4.a.c 
∆ = 4² - 4.3.m 
∆ = 16 - 12m 
Delta precisa ser maior do que 0, então: 
16 - 12m > 0 
- 12m > -16 
12m < 16 (Inverter sinal quando multiplicar por -1.) 
m < 16/12 
m < 4/3 

Para que a equação tenha duas raízes distintas, o valor de m é m < 4/3. 



c) não tenha raízes reais? 
Para não ter raízes reais, a equação deve ter um delta negativo, ou seja, menor do que 0, pois quando delta é negativo a conta não tem resolução, já que não existe raiz quadrada de número negativo na fórmula [(b +- √∆) / (2.a)]. 
Portanto: 

3x² + 4x - m = 0 
a = 3; b = 4; c = m 

∆ = b² - 4.a.c 
∆ = 4² - 4.3.m 
∆ = 16 - 12m 
Delta menor do que 0: 
16 - 12m < 0 
-12m < -16 
12m > 16 (Multiplicar por -1 inverte o sinal.) 
m > 16/12 
m > 4/3 

Para não ter raízes reais, o valor de m deve ser m > 4/3. 
Espero que tenha entendido as três.