Question

De quantas maneiras podemos dividir $14$ pessoas em sete pares ?

Answer 1

Primeiramente, note que, o par formado pelas pessoas A e B é o mesmo par formado pelas pessoas B e A.

Em outras palavras, a ordem de escolha das pessoas de cada par não é importante.

Com isso, podemos escolher o primeiro par de $\dbinom{14}{2}$ modos.

Escolhido o primeiro par, podemos escolher o segundo de $\dbinom{12}{2}$ modos.

E assim sucessivamente, até sobrarem duas pessoas, que formarão o último par.

Deste modo, a resposta seria $\dbinom{14}{2}\cdot\dbinom{12}{2}\dots\dbinom{4}{2}\cdot\dbinom{2}{2}$ maneiras.

Mas, contando assim cada divisão de pares está contada $7!$ vezes.

Logo, a resposta é $\dfrac{\dbinom{14}{2}\cdot\dbinom{12}{2}\dots\dbinom{4}{2}\cdot\dbinom{2}{2}}{7!}$ maneiras.

ou seja, $13\times11\times9\times7\times5\times3\times1=135~135$