Question

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1) O valor de m no trinômio P(x)= 2x^5 + (5m -10) x^8 + 3x -2 de grau 5 é:

2) Dado o polinômio P(x)= -4x³ + 2x² + x - 1, o valor de p(1) é:

3) Determine o resto da divisão de P(x)= x³ + x² - 1 por D(x)= x -2

Answer 1

1)

Se o polinômio é de grau 5, o coeficiente de potências de $\mathsf{x}$ com expoente maior que 5 devem ser nulos, pois se não fossem, o grau do polinômio seria maior

Para $\mathsf{P(x)=(5m-10)x^{8}+2x^{5}+3x-2}$ ser de grau 5, devemos ter que

$\mathsf{5m-10=0~~\Longleftrightarrow~~5m=10~~\Longleftrightarrow~~m=\dfrac{10}{5}~~\Longleftrightarrow~~\boxed{\boxed{\mathsf{m=2}}}}$

2)

$\mathsf{P(x)=-4x^{3}+2x^{2}+x-1}$

Para acharmos $\mathsf{P(1)}$, basta substituirmos $\mathsf{x}$ por $\mathsf{1}$ na expressão do polinômio

$\mathsf{P(x)=-4x^{3}+2x^{2}+x-1}\\\\\mathsf{P(1)=-4\cdot1^{3}+2\cdot1^{2}+1-1}\\\\\mathsf{P(1)=-4\cdot1+2\cdot1+0}\\\\\mathsf{P(1)=-4+2}\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{P(1)=-2}}}$

3)

Para resolver essa, podemos usar o teorema dos restos:

O resto da divisão de $\mathsf{P(x)}$ por $\mathsf{D(x)}$, onde $\mathsf{D(x)}$ é da forma $\mathsf{D(x)=ax+b}$ (polinômio do primeiro grau), é dado por $\mathsf{R(x)=P\big(-\frac{b}{a}\big)}$, onde $\mathsf{-\frac{b}{a}}$ é a raiz de $\mathsf{D(x)}$.

Vamos achar a raiz de $\mathsf{D(x)=x-2}$:

$\mathsf{D(x)=0~~\Longleftrightarrow~~x-2=0~~\Longleftrightarrow~~x=2}$

Então, pelo teorema dos restos,

$\mathsf{R(x)=P(2)}\\\\\mathsf{R(x)=2^{3}+2^{2}-1}\\\\\mathsf{R(x)=8+4-1}\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{R(x)=11}}}$