Question

$Qual\ o\ valor\ de\ y\ :\\\\\\ \frac{dy}{dx} =x-4y+xy-4\\\\\\Para\ y(0)\ =3$

Answer 1

Resolver a equação diferencial ordinária:

dy/dx = x – 4y + xy – 4
dy/dx = xy – 4y + x – 4

Colocando y em evidência,

dy/dx = y · (x – 4) + x – 4
dy/dx = y · (x – 4) + 1 · (x – 4)

Coloque (x – 4) em evidência:

dy/dx = (x – 4) · (y + 1)

Esta é uma EDO de variáveis separáveis, e podemos reescrevê-la como

dy/(y + 1) = (x – 4) dx

Integrando ambos os lados,

ℓn|y + 1| = x²/2 – 4x + C₁

Tomando exponenciais dos dois lados, temos que

|y + 1| = e^(x²/2 – 4x + C₁)
|y + 1| = e^(x²/2 – 4x) · e^C₁
y + 1 = ± e^C₁ · e^(x²/2 – 4x)
y + 1 = C · e^(x²/2 – 4x)
y = C · e^(x²/2 – 4x) – 1

sendo C₁, C constantes, com C = ± e^C₁.

Para achar o valor de C, aplique a condição inicial y(0) = 3, ou seja, y = 3 quando x = 0:

3 = C · e^(0²/2 – 4 · 0) – 1
3 = C · e⁰ – 1
3 = C · 1 – 1
C = 3 + 1
C = 4

Então, a funçåo que é solução para o problema de valor inicial dado é

y = 4 · e^(x²/2 – 4x) – 1 <——— esta é a resposta.

Bons estudos! :-)