Question

Equação do plano perpendicular ao eixo z e que contém o ponto (1, 1 ,1)

Answer 1

Podemos definir três pontos que pertençam ao plano sendo um deles o ponto A = (1, 1, 1) e os outros dois ponto pertencentes ao eixo z, vamos considerar a origem O = (0, 0, 0) e o ponto B = (0, 0, 1) que pertencem ao eixo z.

A = (1, 1, 1)
B = (0, 0, 1)
O = (0, 0, 0)

A partir dos pontos podemos definir dois vetores diretores desse plano, vamos chamá-los de u e v

u = A - O = (1, 1, 1) - (0, 0, 0) = (1, 1, 1)

v = B - O = (0, 0, 1) - (0, 0, 0) = (0, 0, 1)

Sendo u e v diretores do plano procurado, vamos determinaro produto vetorial entre u e v para definir um vetor normal ao plano procurado.

$uxv= \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&1&1\\0&0&1\end{array}\right] =i*(1-0)+j*(0-1)+k*(0-0)=(1, -1, 0)$

Portanto o vetor (1, -1, 0) é normal ao plano procurado.

A equação de um plano com vetor normal (a, b, c), pode ser escrita como:

ax + by + cz = d

Assim, a equação do plano fica

ax + by + cz = d
1*x - 1*y + 0*z = d
x - y = d

Para determinar o valor de "d", vamos utilizar o fato de que o ponto O = (0, 0, 0) pertence ao plano, portanto suas coordenadas satisfazem a equação do plano. Assim, temos que:

x - y = d
0 - 0 = d
0 = d

Com d = 0, a equação do plano será:

x - y = d
x - y = 0

Answer 2

Resposta:

π: Z = 1

Explicação passo-a-passo:

Acho que o  rodrigoreichert se confundiu. O eixo Z é a própria normal do plano, que pode ser definido como (0,0,1). A equação geral do plano é           π: aX + bY + cZ + d = 0, sendo que (a, b, c) são as coordenadas referente à reta normal ao plano. Substituindo as coordenadas do eixo z, temos:

π: 0.X + 0.Y + 1.Z + d = 0

π: Z+d = 0

Substituindo as coordenadas do ponto (1, 1, 1), temos:

1 + d = 0 --> d = -1

Com isso, a equação geral do plano será π: Z-1 = 0 ou simplesmente π: Z = 1