Question

Mostre que, 4 não divide a²+2, qualquer que seja o inteiro de a.

Answer 1

Queremos demonstrar que ∀a ∈ Z (4 não divide a²+2).

Demonstrar que 4 não divide a²+2 é equivalente a mostrar que não existe k ∈ Z tal que a²+2=4k,ou seja,∀k ∈ Z (a²+2 ≠ 4k).

Perceba que ∀a ∈ Z (a² ∈ N).Com isso,podemos fazer indução em a².

Por absurdo,suponha que existe k inteiro tal que a²+2 = 4k

I.Base de indução: tome a²=0.Assim:

0+2=4k ⇒ k=1/2

Como sabemos que k é inteiro e chegamos a um valor racional,então a²≠0.

II.Hipótese de indução: Tome k=k':

a²+2=4k'


III.Passo indutivo: tome k=k'+1.Logo:

a²+2=4(k'+1) ⇒ a²+2=4k'+4 ⇒ a²=4k'+2 ⇒ a²=2(2k'+1) ⇒ k'=(a²/4)-(1/2)

Perceba que k' é racional,pois:

I.Se a² for múltiplo de 4,então a²/4 é inteiro.Porém,um inteiro diminuído de 1/2 resulta em um número racional.
II.Se a² não for múltiplo de 4,a²/4 é racional,que,diminuído de 1/2,resultará em outro racional.

Novamente chegamos a um absurdo,pois k é inteiro e achamos que k é racional.
Portanto,qualquer que seja a inteiro,4 não divide a²+2