Respostas
respondido por:
4
Queremos demonstrar que ∀a ∈ Z (4 não divide a²+2).
Demonstrar que 4 não divide a²+2 é equivalente a mostrar que não existe k ∈ Z tal que a²+2=4k,ou seja,∀k ∈ Z (a²+2 ≠ 4k).
Perceba que ∀a ∈ Z (a² ∈ N).Com isso,podemos fazer indução em a².
Por absurdo,suponha que existe k inteiro tal que a²+2 = 4k
I.Base de indução: tome a²=0.Assim:
0+2=4k ⇒ k=1/2
Como sabemos que k é inteiro e chegamos a um valor racional,então a²≠0.
II.Hipótese de indução: Tome k=k':
a²+2=4k'
III.Passo indutivo: tome k=k'+1.Logo:
a²+2=4(k'+1) ⇒ a²+2=4k'+4 ⇒ a²=4k'+2 ⇒ a²=2(2k'+1) ⇒ k'=(a²/4)-(1/2)
Perceba que k' é racional,pois:
I.Se a² for múltiplo de 4,então a²/4 é inteiro.Porém,um inteiro diminuído de 1/2 resulta em um número racional.
II.Se a² não for múltiplo de 4,a²/4 é racional,que,diminuído de 1/2,resultará em outro racional.
Novamente chegamos a um absurdo,pois k é inteiro e achamos que k é racional.
Portanto,qualquer que seja a inteiro,4 não divide a²+2
Demonstrar que 4 não divide a²+2 é equivalente a mostrar que não existe k ∈ Z tal que a²+2=4k,ou seja,∀k ∈ Z (a²+2 ≠ 4k).
Perceba que ∀a ∈ Z (a² ∈ N).Com isso,podemos fazer indução em a².
Por absurdo,suponha que existe k inteiro tal que a²+2 = 4k
I.Base de indução: tome a²=0.Assim:
0+2=4k ⇒ k=1/2
Como sabemos que k é inteiro e chegamos a um valor racional,então a²≠0.
II.Hipótese de indução: Tome k=k':
a²+2=4k'
III.Passo indutivo: tome k=k'+1.Logo:
a²+2=4(k'+1) ⇒ a²+2=4k'+4 ⇒ a²=4k'+2 ⇒ a²=2(2k'+1) ⇒ k'=(a²/4)-(1/2)
Perceba que k' é racional,pois:
I.Se a² for múltiplo de 4,então a²/4 é inteiro.Porém,um inteiro diminuído de 1/2 resulta em um número racional.
II.Se a² não for múltiplo de 4,a²/4 é racional,que,diminuído de 1/2,resultará em outro racional.
Novamente chegamos a um absurdo,pois k é inteiro e achamos que k é racional.
Portanto,qualquer que seja a inteiro,4 não divide a²+2
Perguntas similares
6 anos atrás
6 anos atrás
6 anos atrás
9 anos atrás
9 anos atrás
9 anos atrás
9 anos atrás
9 anos atrás