Question

Uma progressão aritmética de 9 termos tem razão 2 e soma de seus termos igual a 0. Determine o sexto termo da progressão

Answer 1

Lembrete:

☉ $a_n=a_k+\left(n-k\right)r$
☉ $S_n=\dfrac{\left(a_1+a_n\right)\cdot n}{2}$
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A questão informa os seguintes dados:

☉ $S_{9}=0\text{ (Soma dos 9 primeiros termos da P.A)}$
☉ $r=2\text{ (Razao da P.A)}$
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Inicialmente iremos encontrar a relação do $a_1$ com o $a_{9}$:

☉Soma de P.A:

$S_n=\dfrac{\left(a_1+a_n\right)\cdot n}{2}\\\\S_9=\dfrac{\left(a_1+a_{9}\right)\cdot 9}{2}=0\\\left(a_1+a_9\right)\cdot 9=0\\\bold{a_1+a_9=0\text{ (i)}}$

☉ Termo geral de uma P.A:

$a_n=a_k+\left(n-k\right)r\\a_{9}=a_1+\left(9-1\right)\cdot 2\\a_{9}=a_1+\left(8\cdot 2\right)\\\bold{a_{9}=a_1+16}\text{ (ii)}$
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Substituindo ii em i termos:

$a_1+\left(a_1+16\right)=0\\a_1+a_1+16=0\\2a_1+16=0\\2a_1=-16\\a_1=-16\div 2\\\bold{a_1=-8}$
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Agora que temos o valor do $a_1\text{ (Primeiro termo)}$ basta substituir na forma geral da P.A:

$a_n=a_k+\left(n-k\right)r\\a_{6}=a1+\left(6-1\right)\cdot 2\\a_{6}=-8+\left(5\cdot 2\right)\\a_{6}=-8+10\\\boxed{\bold{a_{6}=2}}$
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A P.A sera:

$\left(-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8\right)$
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Resposta: $a_{6}=2$

Answer 2

Boa noite Nabouvier

PA

sabemos-se

n = 9
r = 2
S = 0

queremos-se 
a6 

soma
Sn = a1*n + r*(n - 1)*n/2

S9 = 9a1 + 2*8*9/2 = 0

9a1 + 72 = 0
9a1 = -72

a1 = -8 

a6 = a1 + 5r
a6 = -8 + 5*2 = -8 + 10 = 2