Question

um objeto é lançado com uma velocidade inicial de 20m/s formando um ângulo de 30° com a horizontal. O arremessador está no alto de um penhasco de 15m. Encontre a altura máxima medida a partir do solo e o alcance dom lançamento.

Answer 1

Se você decompor a Vo, bonitinho, nos eixos x e y, encontrará as seguintes relações:

Vox = Cosθ.Vo

Vox = Cos30°.20
Vox = √3/2.20
Vox = 10√3 m/s





Voy = Senθ.Vo
Voy = Sen30°.20
Voy = 1/2.20
Voy = 10 m/s




Ok! A altura máxima se dará quando a velocidade em Vy for igual a zero, uma vez em que neste momento, a velocidade de subida é anulada pela força da gravidade. Neste momento, nos temos uma fórmula perfeita para esse cálculo:

Vo² = Vo² + 2aΔS

No caso:

a = g (gravidade) = 10m/s² (para subida ela é una aceleração contraria, então é negativa)
ΔS = Y = ΔH ou simplemente H.
V = Vy = 0
Vo = Voy = 10m/s


Então, fica:

0² = 10² + 2.(-10).H
0 = 100 -20H
20H = 100
H = 100/20
H = 5 m

Eu não coloquei na fórmula, mas você tem que somar os 15 metros, daí ficam 20 metros de altura. Essa foi a altura máxima.

Com o Vx, eu posso usar essa mesma fórmula também, porém no caso a aceleração que vigora já não é mais a gravidade, então temos que substituí-la por alguma coisa.
Bem, na cinemática, temos que:

a = ΔV/Δt
a = (V-Vo)/(t-to)

Já que o t inicial é igual a zero e V é igual a zero (momento em que o objeto para) ficamos:

a = (0-Vo)/(t-0)
a = -Vo/t

No caso:

-Vo = -Vox

Muito bem, podemos substituir isso naquela equação:

V² = Vo² + 2aΔS

A = Vox² + 2.(-Vox/t).ΔS

PORÉM, surgiu-nos um problema, apareceu outra variável, o t.
Então, vamos descobrir quem é t para voltar a essa equação e substituí-lo.
Bem, nos podemos nos aproveitar do cálculo da altura máxima, usando essa equação:

S = So + Vot + at²/2

No caso é:

H = Ho + Voy.t -gt²/2
5 = 0 + 10.t -10.t²/2
5 = 10t- 5t²
0 = -5t² + 10t -5
0 = -t² + 2t -1

Eis que caímos numa equação do segundo grau, pra variar kkk

Δ = b²-4.a.c
Δ = 2²-4.(-1).(-1)
Δ = 4-4
Δ = 0

t = [-b±√Δ]/2a
t = [-2±√0]/2.(-1)
t = -2/-2
t = 1

Logo, o tempo que o objeto demora para atingir a sua altura máxima é de 1 segundo. Entretanto, quando ele atinge a sua altura máxima está na metade do caminho (É só imaginar uma parábola, o ponto Máximo é o vértice do Y)
Então, podemos concluir que o t em x é 2 vezes o t de y.

Portanto, t = 2.1 = 2 segundos.

Agora, que já sabemos quem é t, vamos voltar àquela equação que deixamos esperando lá em cima e substituir os valores:

Vx² = Vox² + 2.(-Vox/t).ΔS

OBS : ΔS = ΔY

0² = (10√3)² + 2.(-10√3/2).(S-So)
0 = 100.3 -10√3.(S-0)
0 = 300-10√3.S
10√3.S = 300
√3.S = 30
S = 30/√3

Racionalizando:

S = (30/√3) .(√3/√3)
S = 30√3/3
S = 10√3 m

Portanto:

Hmax = 20 m
Alcance = 10√3 m

É bem trabalhoso, mas não é muito difícil!


Abraços õ/