Question

Esmeralda brinca de escrever o número 2015 como a soma de três números, todos com três algarismos. Ela sempre os escreve em ordem não decrescente, como, por exemplo, 670 + 671 + 674 = 2015 e 175 + 920 + 920 = 2015. Note que, no segundo exemplo, o número 920 aparece duas vezes como parcela. Se ela escrevesse todas as somas possíveis, quantos números apareceriam duas vezes como parcela?A) 50B) 100C) 450D) 858E) 907

Answer 1

Precisamos analisar dois casos separadamente.
Sejam X e Y dois números inteiros de três algarismos. Ou seja, entre 100 e 999.

No primeiro caso:

$2 \cdot X + Y = 2015$

Estou supondo que é o X que aparece 2 vezes.

 No segundo caso:

$X + 2 \cdot Y = 2015$

Estou supondo que é o Y que aparece 2 vezes.

Mas temos que ter um certo cuidado, pois como a ordem é crescente, então Y será sempre maior do que X!

O número 2015 é ímpar, a soma do número que aparece duas vezes (independente dele ser ímpar ou par) é par, ou seja, o número que não repete é obrigatoriamente ímpar.

Precisamos descobrir o X limite para cada um dos casos, ou seja, se considerarmos Y igual a X (nunca menor):

$X + 2 \cdot X = 2015 \\ 3 \cdot X = 2015 \\ X_{max} = \frac{2015}{3} \approx 671,67$

Ou seja, como X e Y são inteiros, o valor limite de X é 671, não podendo ultrapassar esse valor, pois se tornaria maior do que Y.

Agora, analisando o primeiro caso:

O maior valor que Y pode assumir é 999. Neste caso podemos calcular o valor mínimo de X:

$2 \cdot X_{min} + 999 = 2015 \\ 2 \cdot X_{min} = 2015 - 999 \\ X_{min} = \frac{1016}{2} = 508$

Ou seja, no primeiro caso, o número que repete só pode estar entre 508 e 671. Teremos: 1 + 671 - 508 = 164 possibilidades.

Ou seja, as possibilidades seriam:

X  ,     X  ,  Y
508, 508, 999
509, 509, 997
510, 510, 995
[...]
671, 671, 673

Agora, olhando para o segundo caso (onde Y repete duas vezes), o valor mínimo de Y acontece para X = 671:

$671 + 2 \cdot Y_{min} = 2015 \\ 2 \cdot Y_{min} = 2015 - 671 \\ 2 \cdot Y_{min} = 1344 \\ Y_{min} = \frac{1344}{2} = 672$

E seu valor máximo ocorre quando X é mínimo, neste caso, o menor valor que X pode assumir é 101 (pois precisa ter três dígitos e ser ímpar). Ou seja, calculamos o Y máximo:

$101 + 2 \cdot Y_{max} = 2015 \\ 2 \cdot Y_{max} = 2015 - 101 \\ 2 \cdot Y_{max} = 1914 \\ Y_{max} = \frac{1914}{2} = 957$

Ou seja, neste caso o número que repete pode ser qualquer inteiro entre 672 e 957. Assim, teremos mais 1 + 957 - 672 = 286 possibilidades.

As possibilidades seriam:

X  ,    Y,      Y
101, 957, 957
103, 956, 956
105, 955, 955
[...]
671,672,672


Somando-se os dois casos:

$\boxed{164 + 286 = 450 \text{possibilidades}}$

Alternativa C