Question

01. Sabe-se que o ponto P(a, 2) é eqüidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4). Calcule a abscissa a do ponto P. não sei cm faço.

Answer 1

Se P é eqüidistante de A e B então a distância entre esses pontos é a mesma.

P = (a,2)
A = (3,1)
B = (2,4)

Dado os valores dos pontos podemos calcular qual o valor da coordenada "a" (abscissa do ponto P).

A distância entre dois pontos pode ser interpretado geometricamente como a hipotenusa de um triangulo formado por esses pontos. Como sabemos que a hipotenusa ao quadrado e igual a soma dos quadrados dos lados temos:

(distância do ponto P ao A)
$d_{PA} = \sqrt{(a-3)^2 + (2-1)^2}$
$d_{PA} = \sqrt{(a-3)^2 + 1}$

(distância do ponto P ao B)
$d_{PB} = \sqrt{(a-2)^2 + (2-4)^2}$
$d_{PB} = \sqrt{(a-2)^2 + 4}$

Como as distâncias são iguais podemos escrever a equação.
$d_{PA} = d_{PB}$
$\sqrt{(a-3)^2 + 1} = \sqrt{(a-2)^2 + 4}$

Elevando os dois lado ao quadrado
$(\sqrt{(a-3)^2 + 1})^2 = (\sqrt{(a-2)^2 + 4})^2$
$|(a-3)^2 + 1| = |(a-2)^2 + 4|$

Como estamos falando de distância podemos remover os módulos pois garantimos que seja uma expressões positivas.
$(a-3)^2 + 1 = (a-2)^2 + 4$
$a^2-6a+4=a^2-4a+8$
$-6a+4=-4a+8$
$2a = -4$
$\boxed{a = -2}$

Answer 2

P(a, 2)
A(3, 1)
B(2, 4)

Trabalhando com distância entre dois pontos e sabendo que a distância entre P e os outros dois pontos é a mesma, temos.

$d_{pa} = d_{pb} \\ \\ \sqrt{( 3-a)^{2} +( 1-2)^{2} } = \sqrt{ ( 2-a)^{2}+( 4-2)^{2} } \\ \\ \sqrt{9-6a+ a^{2}+1 } = \sqrt{4-4 a+ a^{2} +4 } \\ \\ \sqrt{ a^{2}-6a+10 } = \sqrt{ a^{2}-4a+8 }$

Elevamos ambos os membros da equação ao quadrado, com objetivo de eliminar os radicais.

$( \sqrt{ a^{2}-6a+10 }) ^{2} =( \sqrt{ a^{2}-4a+8 }) ^{2} \\ \\ a^{2} -6a+10= a^{2} -4a+8 \\ \\ a^{2} - a^{2} -6a+4a=8-10 \\ \\ -2a=-2 \\ \\ a= \frac{-2}{-2} \\ \\ a=1$

A absciça procurada a é 1.

O ponto P é P (1, 2)

Espero ter ajudado.

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