Question

Encontre
o máximo divisor comum dos pares de números que seguem e, para cada caso, dê
uma identidade de Bezout.

20
e 74           b) 68 e 120         d) 42 e -96

O
máximo divisor comum de dois números é 48 e o maior deles é 384 .Encontre o
outro número.

Answer 1

Pela relação de Bézout, dados inteiros $a$ e $b$, existem inteiros $m$ e $n$, tais que $am+bn=\text{mdc}(a,b)$.

a) $20$ e $74$

Pelo Algoritmo do MDC de Euclides,

$\text{mdc}(74,20)=\text{mdc}(20,74-20\times3)=\text{mdc}(20,74-60)=\text{mdc}(20,14)$

$\text{mdc}(20,14)=\text{mdc}(14,20-14)=\text{mdc}(14,6)=\text{mdc}(6,14-12)$

$\text{mdc}(6,2)=\text{mdc}(2,6-6)=\text{mdc}(2,0)=2$

Assim,

$2=14-6\times2$

$6=20-14$

$14=74-20\times3$

Assim, $6=20-(74-20\times3)=20\times4-74$.

Logo,

$2=74-20\times3-(20\times4-74)\times2=74-20\times3-20\times8+74\times2=74\times3+20\times(-11)$

Assim, $74\times3+20\times(-3)=\text{mdc}(20,74)=2$



b) $\text{mdc}(120,68)=\text{mdc}(68,52)=\text{mdc}(52,16)=\text{mdc}(16,4)=4$

$4=52-16\times3$

$16=68-52$

$52=120-68$

Assim, $16=68-(120-68)=68\times2+120\times(-1)$

Logo

$4=52-16\times3=(120-68)+68\times(-6)+120\times3=120\times4+68\times(-7)$

$120\times4+68\times(-7)=\text{mdc}(68,120)=4$


c)

$\text{mdc}(42,96)=\text{mdc}(42,12)=\text{mdc}(12,6)=6$

$6=42-12\times3$

$12=96-42\times2$

Assim

$6=42-96\times3+42\times6=42\times7-96\times3$

$42\times7-96\times3=\text{mdc}(42,-96)=6$.

2) Veja que, $384=2^7\times3$ e $48=2^4\times3$.

Assim, o outro número pode ser $48$, $48\times5=240$, enfim.

Ou seja, qualquer inteiro da forma $48\times(p_1)^{a}\times(p_2)^{b}\dots$, com $p_1,p_2\dots\ne2,3$.