Question

Considere a função f(x)=log de (x+3)^3 na base 8. A quantidade de números inteiros que pertencem ao conjunto solução da inequação 4^f(x)<(menor ou igual)2x+105.
A)8
B)12
C)21
D)19
E)11
gabarito: E

Answer 1

Olá Miguel, boa tarde!!

Sabemos que em logaritmos há algumas restrições... Seja $\mathbf{\log_a b = x}$. Então, é sabido que $\mathbf{0 < a \neq 1,\ e \ b > 0}$.

 Isto posto, temos que:

$\\ \mathsf{(x + 3)^3 > 0} \\ \mathsf{x + 3 > 0} \\ \boxed{\mathsf{x > - 3}}$

 Guarde isto (acima)!!


  Desenvolvendo a inequação tendo em vista a condição de existência, temos:

$\\ \mathsf{4^{f(x)} \leq 2x + 105} \\\\ \mathsf{4^{\log_8 (x + 3)^3} \leq 2x + 105}$

 Quanto ao termo do lado esquerdo da desigualdade, considere-o como sendo "k", ou seja, $\mathbf{4^{\log_8 (x + 3)^3} = k}$. Da definição e de algumas propriedades envolvendo logaritmos teremos:

$\\ \mathsf{4^{\log_8 (x + 3)^3} = k} \\\\ \mathsf{\log_4 k = \log_8 (x + 3)^3} \\\\ \mathsf{\log_{2^2} k = \log_{2^3} (x + 3)^3} \\\\ \mathsf{\frac{1}{2} \cdot \log_2 k = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot \log_2 (x + 3)} \\\\ \mathsf{\frac{1}{2} \cdot \log_2 k = \log_2 (x + 3)} \\\\ \mathsf{\log_2 k^{\frac{1}{2}} = \log_2 (x + 3)}$

 Igualando os logaritmandos,

$\\ \mathsf{k^{\frac{1}{2}} = (x + 3)} \\\\ \mathsf{\sqrt{k} = (x + 3)} \\\\ \mathsf{k = (x + 3)^2}$

 Miguel, tudo isso para concluir que: $\mathbf{4^{\log_8 (x + 3)^3} = (x + 3)^2}$.

 Com efeito,

$\\ \mathsf{4^{\log_8 (x + 3)^3} \leq 2x + 105} \\\\ \mathsf{(x + 3)^2 \leq 2x + 105} \\\\ \mathsf{x^2 + 6x + 9 - 2x - 105 \leq 0} \\\\ \mathsf{x^2 + 4x - 96 \leq 0} \\\\ \mathsf{(x + 12)(x - 8) \leq 0}$

 Estudando o sinal da função do 2º grau (penúltima linha da desigualdade) ou o da inequação produto (última linha) tiramos que $\mathbf{12 \leq x \leq 8}$ é o conjunto-solução.

 Todavia, devemos nos lembrar da condição existência feita no início da resolução. Portanto, devemos determinar a INTERSECÇÃO entre estes intervalos. Segue,


___-___________-___(- 3)___+_______+_____
__+___[- 12]____-________-____[8]__+_____
__-___[- 12]____+___(- 3)__-____[8]__+_____

Daí, a intersecção entre os intervalos é: $\boxed{\mathbf{- 3 < x \leq 8}}$. Isto é, $\mathbf{\left \{ - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \right \}, \ afinal, \ x \in \mathbb{Z}.}$