Question

Geometria UNICAMP

Um abajur de tecido tem a forma de um tronco de cone circular reto, com as bases paralelas. As aberturas do abajur têm 25 cm e 50 cm de diâmetro, e a geratriz do tronco mede 30 cm. O tecido rasgou e deseja-se substitui-lo.

a) Determine os raios dos arcos que devem ser demarcados sobre um novo tecido para que se possa cortar um revestimento igual àquele que foi substituído;

b) Calcule a área da região demarcada sobre o novo tecido que revestirá o abajur.

Answer 1

Boa noite, João.

Vamos analisar esse problema com uma vista de perfil, que coloquei em anexo. Note que estendi a linha para formar o triângulo que deu origem a tal cone.



Item A)  Como queremos substituir o tecido, teremos que cortar a nova estampa de modo que não sobre ou falte tecido para cobrir tudo, assim, concluímos que o tecido deverá primeiramente formar um cone e depois cortá-lo para que fique com o perfil igual ao da imagem. Note que temos triângulos semelhantes na imagem, e vamos analisar com respeito à geratriz do cone e à base:


$\dfrac{r+30}{25} = \dfrac{r}{\frac{25}{2}}\\ \\ \\ r = \dfrac{25}{2}\cdot\dfrac{r+30}{25}\\ \\ \\ r = \dfrac{r+30}{2}\\ \\ \\ 2r = r + 30\\ \\ \\ \boxed{r = 30 \ cm}$


Mas não queremos um tecido de comprimento infinito após o primeiro corte, queremos que a geratriz do tronco tenha comprimento 30, então devemos fazer um segundo corte 30 cm afastado do fim do primeiro corte, ou seja, a 60 cm da origem. Logo, temos que:

$\boxed{R = 60 \ cm}$




Item B)  Para encontrarmos a área da região, devemos olhar para a planificação da figura, que também coloquei em anexo. Note que teremos que calcular a área do setor circular menor e do Maior(de raio 60 cm, que contém o menor) Note que a planificação é obtida quando pegamos o triângulo do primeiro exercício, cortamos o raio menor e ficamos com um trapézio. A rotação desse trapézio pela altura do triângulo determina o tronco. Quando fazemos um corte pela geratriz do tronco e o planificamos, temos a segunda imagem anexada. Note que o arco da nossa figura 2, que determina a S1, que é a área do primeiro setor circular é o comprimento do círculo de raio 12,5 cm, pois fizemos uma rotação, então o arco menor vale:

$C_m = 2\pi\cdot 12,5\\ \\ C_m = 25\pi \ cm$

Analogamente, concluímos que o raio do setor maior vale:

$C_M=2\pi \cdot 25\\ \\ C_M=50\pi$


Agora podemos calcular a área de cada setor circular pela fórmula, mas como eu a acho desinteressante de guardar, vou fazer usando uma regra de três. Nela, vou pegar os raios de 30 cm e 60 cm e observar o círculo que tem centro na origem do cone de cada um deles. Esses círculos possuem uma área que tem relação direta com o comprimento deles(meio círculo tem metade da área de um círculo, por exemplo), então vamos relacionar a área total e comprimento total com o comprimento que calculamos para cada arco. Após isso, teremos a área de cada setor. Note que eu escrevi bastante, mas a ideia é bem simples:


Área de S1:

$\pi(30)^2 ---- \ 2\pi\cdot30\\ S_1 \ \ \ \ \ \ ---- \ 25\pi\\ \\ \\ 60\pi\cdot S_1 = 900\cdot25\pi^2\\ \\ S_1 = 15\cdot25\pi\\ \\ \boxed{S_1 = 375\pi \ cm^2}$



Área de S2:

$\pi(60)^2 ---- \ 2\pi\cdot60\\ S_2 \ \ \ \ \ \ ---- \ 50\pi\\ \\ 120\pi\cdot S_2 = 50\cdot3600\pi^2\\ \\ S_2 = 50\cdot30\pi\\ \\ \boxed{S_2 = 1500\pi \ \cm^2}$



A área que queremos é justamente a área de S2 menos a área de S1, então:


$A = S_2-S_1\\ \\ A = 1500\pi - 375\pi\\ \\ \boxed{A = 1125\pi \ cm^2}$