Question

Considere uma função

f: D ⊂ N² → N

na qual para cada par (x, y) ∈ D, f(x, y) fornece o valor do resto da divisão de x por y.

a) Qual o maior domínio D possível para esta função?

b) Escreva uma lei de formação para f.

f(x, y) = ____________

Answer 1

Olá Lukyo


Considere uma função

f: D ⊂ N² → N

na qual para cada par (x, y) ∈ D, f(x, y) fornece o valor do resto da divisão de x por y.

_________________________

Começando pela alternativa b

b - Escreva uma lei de formação para f

Em uma divisão de números naturais, sabemos que em alguns casos obtemos números decimais, por exemplo

11/3 = 3,666...

Onde a parte inteira é o quociente, nesse caso o 3

Sabendo também que podemos representar uma divisão algebricamente com a seguinte expressão

$\mathsf{a = qd + r}$

a = Dividendo
q = Quociente
d = Divisor
r = Resto

Isolando o r ob´temos

$\mathsf{r = a - qd}$

Porém, como r é inteiro e vimos anteriormente que o quociente pode vir acompanhado de uma parte decimal, precisaria da ajuda de uma função para podermos vencer esse problema, por exemplo a função piso

A função piso que tem a seguinte notação, $\mathsf{\left\lfloor x\right\rfloor}$ onde x é um número real, nos retorna sempre a parte inteira

Como sabemos, o quociente é dado pela parte inteira de uma divisão, ou seja

$\mathsf{q=\left\lfloor \dfrac{a}{d}\right\rfloor}$

Substituindo na nossa expressão, temos

$\mathsf{r=a-\left\lfloor\dfrac{a}{d}\right\rfloor\cdot d}$

Como temos r em função de a e de d, tomaremos r = f(a, d)



Tomando a = x e d = y, para deixar no formato pedido pelo enunciado 

$\boxed{\mathsf{f(x,y)=x-\left\lfloor\dfrac{x}{y}\right\rfloor\cdot y}}$


a - Qual o maior domínio D para esta função?


Em uma divisão o divisor jamais poderá ser igual a 0.

Portanto o domínio D será

$\mathsf{D=\{(x,y)\in ~\mathbb{N}~x~\mathbb{N}~:~y\neq0\}}$


Dúvidas? comente.