Question

Encontre o resto da divisão de $\mathsf{7^{7^{1000}}}$ dividido por 10


(7 está sendo elevado a potência de 7 elevado a 1.000)


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Por favor responda de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Análise inicial:

Potências de  7:

     •  7¹ = 7
     •  7² = 49
     •  7³ = 343
     •  7⁴ = 2401
     •  7⁵ = 16807
     ⋮


Analisemos os restos que estas potências deixam na divisão por  10:

     •  7¹ = 7 ≡ 7     (mod 10)
     •  7² = 49 ≡ 9     (mod 10)
     •  7³ = 343 ≡ 3     (mod 10)
     •  7⁴ = 2401 ≡ 1     (mod 10)
     •  7⁵ = 16807 ≡ 7     (mod 10)
     ⋮


Podemos notar que a cada passo de  4  termos, temos um ciclo completo apenas com os restos

     7, 9, 3  e  1.

A resposta para esta tarefa é necessariamente um desses quatro restos possíveis.

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Como o ciclo se repete a cada  4  termos (expoentes), nada mais natural que calcular o resto da divisão de  7¹⁰⁰⁰  por  4.

Analisando os restos que as potências de  7  deixam na divisão por  4:

     •  7¹ = 7 ≡ 3     (mod 4)
     •  7² = 49 ≡ 1     (mod 4)


Partindo desta última congruência:

     7² ≡ 1      (mod 4)


Elevando os dois lados a  500,

     (7²)⁵⁰⁰ ≡ 1⁵⁰⁰     (mod 4)
     7¹⁰⁰⁰ ≡ 1     (mod 4)


Isto quer dizer que existe um  q  natural, tal que

     7¹⁰⁰⁰ = 4q + 1


Sendo assim,

     $\mathsf{7^{7^{1000}}=7^{4q+1}}}$

para algum  q  natural.


Além do mais,

     $\mathsf{7^4\equiv 1~~(mod~10)}\\\\ \mathsf{(7^4)^q\equiv 1^q~~(mod~10)}\\\\ \mathsf{7^{4q}\equiv 1~~(mod~10)}$


de onde tiramos que

     $\mathsf{7^{4q}\cdot 7\equiv 1\cdot 7~~(mod~10)}\\\\ \mathsf{7^{4q}\cdot 7^1\equiv 7~~(mod~10)}\\\\ \mathsf{7^{4q+1}\equiv 7~~(mod~10)}$

para todo  q  natural.


Em particular, isso vale para o  q  que satisfaz

     4q + 1 = 7¹⁰⁰⁰


isto é,

     $\mathsf{7^{7^{1000}}\equiv 7~~(mod~10)}$


Logo, o resto da divisão de  $\mathsf{7^{7^{1000}}}$  por  10  é  7.


Bons estudos! :-)