Question

Encontre uma expressão matemática que permita o cálculo do volume de uma calota esférica ( deixe evidente todos os seus cálculos e teorias adotadas ) .

Answer 1

Boa noite.


Vou fazer o exercício utilizando tanto o cálculo integral quanto a geometria clássica(Embora ao utilizarmos a última, estaremos assumindo resultados que só podemos provar com o cálculo). Vamos começar com a geometria.


Solução com Geometria Clássica:

Precisaremos das seguintes ferramentas:

I) Sólidos de revolução: Se temos um triângulo ABO, onde O é a origem do sistema cartesiano, gira em torno da reta que possui o lado AO, teremos um sólido de revolução com o volume de um terço do produto do comprimento da altura OH do triângulo pela área da superfície de revolução gerada pelo lado AB. Isso pode ser verificado ao notar que a rotação vai gerar dois cones, e você pode calcular o volume de cada um deles separadamente. A área da superfície da rotação de AB será a área lateral de um cone. Assim, teremos o volume como:

$\boxed{\mathsf{V=\frac{1}{3}S_{AB}\cdot OH}}$ 

II) Anel Esférico: Um anel esférico é uma superfície delimitada por um arco  AB e pelo segmento AB. O volume desse anel será igual ao volume do setor esférico de altura h subtraído do volume do sólido de revolução do segmento AB em torno do eixo. Ao efetuarmos as contas(não farei aqui pois para realizar todas fugiríamos do nosso objetivo), teremos que:

$\mathsf{V=\frac{1}{6}\pi(AB)^2\cdot h}$


III) Segmento esférico: Tomemos o arco AB em uma esfera. Se tomarmos retas perpendiculares ao eixo da esfera passando por A e B, teremos um segmento esférico. Note que esse segmento pode possuir duas bases ou só uma. O caso só com uma base é de nosso interesse, pois ao ser rodado teremos uma calota. O volume do segmento será o volume do tronco de cone AB rotacionado pelo eixo somado ao anel esférico por AB. Fazendo esses cálculos, teremos:

$\mathsf{V=\frac{1}{6}\pi h(h^2+3r_1^2+3r_2^2)}$

Com r1 e r2 as distâncias de A e B até o eixo.

Porém, no caso de uma calota, um dos raios será nulo, pois teremos cortado a esfera apenas uma vez, então desconsideraremos um raio da fórmula acima.

$\mathsf{V=\frac{1}{6}\pi h(h^2+3r_1^2)}$

Da geometria do primeiro anexo, podemos usar a relação métrica: h² = mn.
Assim,

$\mathsf{r_1^2=h(2r-h)=2rh-h^2}$

Substituímos isso na fórmula anterior:

$\mathsf{V= \frac{1}{6}\pi h(h^2+6rh - 3h^2)}\\ \\ \mathsf{V = \frac{1}{6}\pi h^2(6r-2h)}\\ \\ \boxed{\mathsf{V = \frac{1}{3}\pi h^2(3r-h)}}$

Note que fazer todos os cálculos é possível, mas fica bem demorado. Eu optei por descrevê-los, deixando a parte mais importante à mostra. Note que esse método é bem ruim para deduzir a fórmula, pois precisamos decorar diversas outras fórmulas complicadas por si só e utilizar diversas identidades. Essa fórmula, honestamente, é mais fácil de ser decorada que deduzida a cada uso. Por essa inconveniência, nos lembramos do segundo método...



Solução com cálculo diferencial:


Queremos o volume do sólido ao rotacionarmos a área vermelha do anexo 2 em torno de y, então integraremos com respeito a y, de r - h até r, que são os valores em y que delimitam a área vermelha. Note que a vista da esfera é uma equação da circunferência, e por isso:

$\mathsf{x^2+y^2=r^2}$

Note que se fatiarmos a área vermelha com várias retas paralelas a x, é o mesmo que cortarmos no espaço a figura com planos paralelos a x, e a interseção deles com a esfera será  círculos com raios de algum valor x. Da equação da circunferência no plano xy, teremos que esses raios x medem

$\mathsf{x = \sqrt{r^2-y^2}}$

Agora se fizermos muitos cortes paralelos a x, a cada dois círculos teremos praticamente um cilindro circular(curiosidade: um plano é um cilindro, uma calha ondulada também é um cilindro) de altura muito pequena e volume

$\mathsf{V = \pi r^2 h}$

Esse raio ao quadrado será nosso valor de x²(como falei anteriormente, x será o raio), e essa altura vou chamar de dy, é a variação da altura entre os dois círculos. Note que queremos o volume de todos esses cilindros de altura muito pequena, então vamos somá-los todos, de r-h até r. Para indicar que estamos somando todas as áreas, vamos usar um S(de soma) deformado, "$\int$" . Assim, teremos:

$\mathsf{V=\displaystyle\int_{r-h}^r\pi x^2 dy}\\ \\ \\ \mathsf{V=\displaystyle\int_{r-h}^r\pi(r^2-y^2) dy}\\ \\ \\ \mathsf{V=\pi\displaystyle\int_{r-h}^r(r^2-y^2) dy}\\ \\ \\ \mathsf{V = \pi r^2y-\pi \dfrac{y^3}{3}\Big|_{r-h}^r}\\ \\ \\ \mathsf{V = \pi r^3 - \pi\dfrac{r^3}{3}-\pi\left(r^2(r-h)-\dfrac{(r-h)^3}{3}\right)}\\ \\ \\ \mathsf{V =\pi\left[\dfrac{2r^3}{3}-(r-h)\left(r^2-\dfrac{r^2-2rh+h^2}{3}\right)\right]}\\ \\ \\ \mathsf{V = \dfrac{\pi}{3}[2r^3-(r-h)(2r^2+2rh-h^2)]}$

$\mathsf{V = \frac{\pi}{3}(2r^3- 2r^3-2r^2h+rh^2+2r^2h+2rh^2-h^3)}\\ \\ \mathsf{V = \frac{\pi}{3}(3rh^2-h^3)}\\ \\ \\ \mathsf{V =\frac{\pi}{3}h^2(3r-h) }$

Bons estudos!