Question

Qual o resto da divisão de $\mathsf{\displaystyle{\underbrace {7^{7^{\cdot ^{\cdot ^{7}}}}} _{n}}}$ por 10, se n ≥ 3


(Sete está sendo exponenciado por si mesmo, n vezes).


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Por favor responder de forma detalhada. Respostas com brincadeiras serão eliminadas.

Answer 1

Vou introduzir uma notação para facilitar a leitura de uma expressão que envolve tetração com vários níveis:

$\mathsf{\underbrace{\mathsf{a^{a^{\cdot ^{\cdot a}}}}}_{n}=\,^n a}$

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Dessa forma,

$\mathsf{\underbrace{\mathsf{7^{7^{\cdot ^{\cdot 7}}}}}_{n}=\,^n 7}\\\\\\ \mathsf{\underbrace{\mathsf{7^{7^{\cdot ^{\cdot 7}}}}}_{n}=7^{7^{\,^{(n-2)} 7}}}$

Qualquer potência de 7 é um número ímpar. Em particular,

$\mathsf{\,^{(n-2)} 7=2k+1}$

Então,

$\mathsf{\,^n 7=7^{7^{2k+1}}}$

Além disso,

$\mathsf{49-1=48}\\\\ \mathsf{7^2-1=4\cdot 12}\\\\\\ \mathsf{7^2\equiv 1~~(mod~4)}$

de modo que

$\mathsf{(7^2)^k\equiv 1^k~~(mod~4)}\\\\ \mathsf{7^{2k}\equiv 1~~(mod~4)}\\\\ \mathsf{7^{2k}\cdot 7\equiv 1\cdot 7~~(mod~4)}\\\\ \mathsf{7^{2k+1}\equiv 7~~(mod~4)}\\\\ \mathsf{7^{2k+1}\equiv 7-4~~(mod~4)}\\\\ \mathsf{7^{2k+1}\equiv 3~~(mod~4)}$

Então,

$\mathsf{7^{2k+1}=4m+3}$

Mas temos também que

$\mathsf{2401-1=2400}\\\\ \mathsf{7^4-1=10\cdot 240}\\\\\\ \mathsf{7^4\equiv 1~~(mod~10)}$

de modo que

$\mathsf{(7^4)^m\equiv 1^m~~(mod~10)}\\\\ \mathsf{7^{4m}\equiv 1~~(mod~10)}\\\\ \mathsf{7^{4m}\cdot 7^3\equiv 1\cdot 7^3~~(mod~10)}\\\\ \mathsf{7^{4m+3}\equiv 343\equiv 3~~(mod~10)}$

Mas $\mathsf{4m+3=7^{2k+1}}:$

$\mathsf{7^{7^{2k+1}}\equiv 3~~(mod~10)}$

Mas $\mathsf{2k+1=\,^{(n-2)} 7}}:$

$\mathsf{7^{7^{\,^{(n-2)} 7}}\equiv 3~~(mod~10)}\\\\\\ \mathsf{\,^n 7\equiv 3~~(mod~10)}$

O resto é 3.

Bons estudos! :-)