Question

Prove por indução matemática que 2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 3 + . . . + 2n = n ^2 + n, n ≥ 1.

Answer 1

Boa noite.

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Produto notável usado:

$\boxed{\boxed{\mathsf{a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}}}$
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Para fazer a indução, comecemos com nossa base, ou seja, o menor valor para checarmos a validade. Nesse caso, n = 1.

$\mathsf{2\cdot1=1^2+1}\\ \\ \mathsf{2 = 2}\ \ \ (V)$

Como é válido para 1, podemos ir ao passo indutivo: 

Se a sentença for válida para k, ela deverá ser válida para k+1.

$\mathsf{2\cdot1+2\cdot2+\dots+2\cdot k = k^2+1}$

Isso é válido por hipótese. Então vamos somar 2(k+1) dos dois lados:

$\mathsf{2\cdot1+2\cdot2+\dots+2\cdot k+2\cdot(k+1) = k^2+k + 2(k+1)}\\ \\ \mathsf{2\cdot1+2\cdot2+\dots+2\cdot k+2\cdot(k+1) =k^2+k+2k+2}\\ \\ \mathsf{2\cdot1+2\cdot2+\dots+2\cdot k+2\cdot(k+1) =k^2+2k+1+k+1}\\ \\ \mathsf{2\cdot1+2\cdot2+\dots+2\cdot k+2\cdot(k+1) =k^2+2k+1+k+1}\\ \\ \mathsf{2\cdot1+2\cdot2+\dots+2\cdot k+2\cdot(k+1) =(k+1)^2+(k+1)}$ $\square$

A última expressão é justamente a nossa tese. Então fica provada a validade da expressão.