Question

Sabendo-se que
$2,777... = 2 + \frac{7}{10} + \frac{7}{10^2}+ ...+ \frac{7}{10^n}$

e

$0,111... = \frac{1}{10} + \frac{1}{10^2}+ ...+ \frac{1}{10^n}$  ,

Conclui-se que

$(2,777...)^{0,5}+(0,1111..)^{0,5}$

é igual a:

a) 1,444...
b) 2
c) 2,888...
d) 3


Preciso da resolução com o nome dos procedimentos necessários para o cálculo.


Por favor, não responda se não puder. Repito: Se não souber responder, por favor não o faça.

Answer 1

Primeiro resolvemos um por vez ... 


2,777... = 2 + 7/10 + 7/100 + 7/1000 ... 

2,777... = 2 + 0,7 + 0,07 + 0,007 ... 

2,777... = 2 + 0,777... 

========================

se 

0,777... = x  

então 

7,777... = 10x 

10x - x = 7,777... - 0,777...

9x = 7 

x = 7/9 

Então : 

0,777... = 7/9 

-----------------------------------

Como temos ... 

2,7777... 

2 + 7/9               ( 2 = 18/9) 

18/9 + 7/9 = 25/9 

Então:     2,777... = 25/9 

=======================================================


0,111... = 1/10 + 1/100 + 1/1000 ... 

0,111... = 0,1 + 0,01 + 0,001 ... 

0,111... = 0,111 ... 

Supondo que : 

0,111... = x 

então ... 

1,111... = 10x 

Dessa forma : 

10x - x = 1,111... - 0,111... 

9x = 1 

x = 1/9 

Então : 

0,111... = 1/9 

=======================================================

Agora vamos para a equação : 

$(2,777...)^{0,5}\ +\ (0,111...)^{0,5}$

substituindo os valores que encontramos .... 


$( \frac{25}{9} )^{0,5}\ +\ ( \frac{1}{9} )^{0,5}$


sabemos que 0,5 = 1/2 

Em potenciação ...
 
o numerador é o índice de expoente do número 

e o denominador é o índice da raiz 

Ex :   x²/³ = ∛x² 

voltando a nossa conta usando essas propriedades.... 



$( \frac{25}{9} )^{0,5 }\ + \ ( \frac{1}{9} )^{0,5}\ =\ ( \frac{25}{9} )^{ \frac{1}{2} }\ +\ (\frac{1}{9} )^{ \frac{1}{2} }\ =\ \sqrt{ \frac{25}{9} } \ +\ \sqrt{ \frac{1}{9}} \\\\\\\ resolvendo\ a\ raiz\ ...\\\\\\ \frac{ \sqrt{25} } { \sqrt{9}} \ +\ \frac{ \sqrt{1} }{ \sqrt{9}}\ \ \ \ =\ \ \frac{5}{3} \ +\ \frac{1}{3} \ \ =\ \ \frac{5+1}{3} \ \ \ = \ \frac{6}{3} \ =\ \boxed{\boxed{2}}$


Letra b)                   ok

Answer 2

$\large\boxed{\boxed{\boxed{{Ol\'a}}}}}$

Respondendo , sem mais delongas...

$2,777...2+\frac{7}{10}+...\frac{7}{10^2}+...\frac{1}{10^n}$

e

$0,111...\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+...\frac{1}{10^n}$

$(2,777)^\frac{1}{2}+(0,111)^\frac{1}{2}$

$=2+\underbrace{0,7+0,07+0,007}$

Logo:

$a_{1}=0,7$

$q=0,1$

Então:

$Sn=\frac{a_{1}}{1-q}$

Substituindo:

$S_{n}=\frac{0,7}{1-0,1}$

logo:

$S_{n}=0,7$

$S_{n}=\frac{7}{10}÷\frac{9}{10}$

$S_{n}=\frac{7}{9}$

então:

$(2+\frac{7}{9})^\frac{1}{2}+(\frac{1}{9})^\frac{1}{2}$

$=(\frac{25}{9})^\frac{1}{2}+(\frac{1}{9})^\frac{1}{2}$

$=\sqrt{\frac{25}{9}}+\sqrt{\frac{1}{9}}$

$=\frac{5+1}{3}$

$=\frac{6}{3}$

$=2$
$\checkmark \checkmark$

logo:

Opção B.

Sexta-feira.05.04.2019
Joaquim...Marcelo $\checkmark$