Question

Sejam os planos α1:x+my+2z-7=0 e α2:4x+5y+3z+2=0. podemos afirmar que os valores de m para que o ângulo entre os planos seja de 30º são:

a) m=0 e m=6

b) m=5 e m=2

c) m=1 e m=7

d) m=9 e m=8

e) m=4 e m=3

Answer 1

Boa tarde Henrique 

Sejam os planos α1: x+ my + 2z - 7 = 0 e α2: 4x + 5y + 3z + 2 = 0. 

vamos definir dois  vetores normais aos planos α1 e α2

n1 = (1i, mj, 2k) = (1, m, 2)
n2 = (4i, 5j, 3k) = (4, 5, 3)

angulo entre dois planos é

cos(α) = | n1 . n2 |/(||n1||*||n2||)

n1.n2 =  (1, m, 2)*(4, 5, 3) = 4 + 5m + 6 = 10 + 5m

||n1|| = √(1² + m² + 2²) = √(m² + 5)
||n2|| = √(4² + 5² + 3²) = √(16 + 25 + 9) = √50

cos(30) = | 10 + 5m |/ |(√(50m² + 250) |

√3/2 = | 10 + 5m |/ |√(50m² + 250) |
√3/2 = (m + 2)/√2*√(m² + 5)
√6/2 = (m + 2)/√(m² + 5)
√(6m² + 30) = 2m + 4 
6m² + 30 = 4m² + 16m + 16
2m² - 16m + 14 = 0
m² - 8m + 7 = 0
(m - 1)*(m - 7) = 0

m1 = 1, m2 = 7 (C)

Answer 2

nesta questão a resposta correta é M=1 e M=7