Question

Análise Combinatória na prova da UNICAMP

2 prêmios iguais serão sorteados entre 10 pessoas, sendo 7 mulheres e 3 homens. Admitindo que 1 pessoa não possa ganhar os 2 prêmios (ou seja, consecutivamente), responda às perguntas abaixo.

a) De quantas maneiras diferentes os prêmios podem ser distribuídos entre as 10 pessoas?
b) Qual é a probabilidade de que 2 homens sejam premiados?
c) Qual é a probabilidade de que ao menos 1 mulher receba um prêmio?

Answer 1

$Simbologia \ utilizada \ : \\\\ n! \ = \ n \ . \ (n-1) \ . \ (n-2) \ . \ (n-3) \ . \ \cdots \ . \ 3 \ . \ 2 \ . \ 1 \\\\ \binom{n}{k} \ \Leftrightarrow \ C_{n,k} \ \Leftrightarrow \ \frac{n!}{k! \ . \ (n-k)!} \\\\ P \ representa \ a \ probabilidade \ de \ um \ evento \ ocorrer \\\\ \Omega \ representa \ o \ espa\c{c}o \ amostral \\\\ P_A \ \acute{e} \ a \ probabilidade \ de \ um \ evento \ A \ ocorrer \\\\ P_A^c \ \acute{e} \ a \ probabilidade \ do \ evento \ complementar \ de \ A \ ocorrer$

$a) \\\\ Nessa \ quest\tilde{a}o \ temos \ que \ a \ ordem \ n\tilde{a}o \ altera \ . \ Por \ isso \\ utilizarei \ a \ teoria \ de \ combina\c{c}\tilde{o}es \ para \ calcular \ a \ quantidade \ T \\ de \ maneira \ de \ se \ distribuir \ esses \ pr\hat{e}mios \ , \\\\ T \ = \ \binom{n}{k} \\\\ Sendo \ n \ = \ 10 \ ,\ pelo \ fato \ de \ terem \ somente \ 10 \ pr\hat{e}mios \ . \ Por \\ serem \ dois \ pr\hat{e}mios \ temos \ que \ k \ = \ 2$

$T \ = \ \binom{10}{2} \\\\ T \ = \ \frac{10!}{2!.8!} \\\\ T \ = \ 45 \ possibilidades \\\\ b) Sabendo \ que \ 45 \ s\tilde{a}o \ todas \ as \ possibilidades \ de \ sortearem \\ esse \ pr\hat{e}mio \ a \ duas \ pessoas \ , \ logo \ : \\\\ \boxed{T \ = \ \Omega \ = \ 45}$

$b) \\\\ Como \ a \ ordem \ com \ que \ os \ homens \ recebem \ pr\hat{e}mio \ n\tilde{a}o \\ importa \ , \ ent\tilde{a}o \ adotaremos \ a \ utiliza\c{c}\tilde{a}o \ da \ combina\c{c}\tilde{a}o \\ simples \ para \ calcular \ quantas \ maneiras \ H \ podemos \\ sortear \ dois \ homens \\\\ H \ = \ \binom{n}{k} \\\\ Temos \ que \ n \ = \ 3 \ pelo \ fato \ de \ terem \ somente \ 3 \ homens \\ e \ ainda \ que \ k \ = \ 2 \ por \ termos \ de \ escolher \ dois \ deles \ .$

$H \ = \ \binom{3}{2} \\\\ H \ = \ \frac{3!}{2! \ . \ 1!} \\\\ H \ = \ 3 \\ \\ Seja \ P_H \ a \ probabilidade \ de \ sortearmos \ dois \ homens \ , \\\\ P_H \ = \ \frac{H}{\Omega} \\\\ P_H \ = \ \frac{3}{45} \\\\ P_H \ = \ \frac{1}{15}$

$c) \\\\ Se \ P_H \ representa \ a \ probabilidade \ de \ sortearmos \ dois \ homem \ , \\ ent\tilde{a}o \ P_H^c \ representa \ a \ probabilidade \ de \ sortearmos \ pelo \ menos \\ uma \ mulher \ . \ Assim \ utilizaremos \ do \ teorema \ , \\\\ \boxed{\boxed{ P_H \ + \ P_H^c \ = \ 1 }} \\ \\ Adotando como \ P_H \ = \frac{1}{15} \ , \\\\ \frac{1}{15} \ + \ P_H^c \ = \ 1 \\\\ P_H^c \ = \ \frac{14}{15}$