Question

Análise Combinatória (FUVEST)

Em uma classe de nove alunos, todos se dão bem, com exceção de Andreia, que vive brigando com Manoel e Alberto.
Nessa classe, será constituída uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que cada membro se relacione bem com todos os outros.
Quantas comissões podem ser formadas?

Answer 1

A ORDEM NÃO IMPORTA.
OU SEJA, COMBINAÇÃO.

AS POSSIBILIDADES SÃO:

COM ANDREIA , SEM MANOEL E ALBERTO : C6,4 = 6.5./2! = 15
+
COM MANOEL , SEM ANDREIA E ALBERTO: C6,4 = 15
+
COM ALBERTO, SEM ANDREIA E MANOEL: C6,4 = 15
+
COM MANOEL E ALBERTO, SEM ANDREIA: C6,3 = 6.5.4/3! = 20
+
SEM OS TRÊS : C6,5 = 6

15 + 15 + 15 + 20 + 6 = 71 COMISSÕES 

Answer 2

$------------------------------- \\ \\ Simbologia \ adotada \ , \\\\ n! \ = \ n \ . \ (n-1) \ . \ (n-2) \ . \ (n-3) \ . \cdots \ . \ 3 \ . \ 2 \ . \ 1 \\\\ \binom{n}{k} \ \Leftrightarrow \ C_{n,k} \ \Leftrightarrow \ \frac{n!}{k! \ . \ (n-k)!} \\ \\ -------------------------------$

$Para \ resolver \ essa \ quest\tilde{a}o \ utilizarei \ da \ teoria \ de \ conjuntos \ , \\ em \ particular \ a \ parte \ da \ teoria \ do \ conjunto \ complementar \ de \\ um \ evento \ .$ $Seja \ T \ o \ total \ de \ comiss\tilde{o}es \ que \ podem \ ser \ formadas \ com \\ cinco \ pessoas \ e \ seja \ T_X \ as \ comiss\tilde{o}es \ formadas \ nas \ quais \\ todo \ mundo \ se \ d\acute{a} \ bem \ . \ Ent\tilde{a}o \ T_X^c \ representa \ as \ comiss\tilde{o}es \\ restritas \ nas \ quais \ Andreia \ est\acute{a} \ com \ pelo \ menos \ um \ dos \\ que \ ela \ vive \ bringando \ .$

$Agora \ T_X^c \ pode \ ser \ separado \ em \ tr\hat{e}s \ casos \ : Andreia \ s\acute{o} \ com \\ Manuel \ ; \ Andreia \ est\acute{a} \ s\acute{o} \ com \ Alberto \ ; \ Andrei \ est\acute{a} \ com \\ Manuel \ e \ Alberto \ na \ mesma \ comiss\tilde{a}o \ .$

$Vamos \ comec{c}ar \ calculando \ o \ caso \ N_{AM} \ no \ qual \ Andreia \ e \\ Manuel \ est\tilde{a}o \ juntos \ . \\\\ N_{AM} \ = \ \binom{n}{k}$

$Assim \ vamos \ considerar \ que \ eles \ j\acute{a} \ encontram-se \ na \ mesma \\ equipe \ . \ Por \ isso \ , \ teremos \ que \ subtrair \ duas \ unidades \ de \ k \\ pelo \ fato \ Andreia \ e \ Manuel \ j\acute{a} \ estarem \ na \ comiss\tilde{a}o \ . \ Al\acute{e} \\ disso \ , \ temos \ subtrair \ tr\hat{e}s \ unidades \ de \ n \ porque \ Andreia \ e \\ Manuel \ j\acute{a} \ estarem \ na \ comiss\tilde{a}o \ e \ n\tilde{a}o \ podermos \ ter \ Alberto$ $\ nessas \ comiss\tilde{o}es \ ( \ se \ n\tilde{a}o \ teremos \ o \ caso \ de \ os \ tr\hat{e}s \ estarem \ na \\ mesma \ comiss\tilde{a}o \ ) \ . \ Com \ isso \ , \\\\ N_{AM} \ = \ \binom{n-3}{k-2} \\\\\ Adotando \ que \ n \ = \ 9 \ ( \ total \ de \ alunos ) \ e \ k \ = \ 5 \ ( total \ de \ em \ cada \\ comiss\tilde{a}o \ )$

$N_{AM} \ = \ \binom{9-3}{5-2} \\\\ N_{AM} \ = \ \binom{6}{3} \\\\ Agora \ iremos \ calcular \ o \ caso \ N_{AA} \ no \ qual \ Andreia \ e \ Alberto \\ est\tilde{a}o \ juntos \ . \ Perceba \ que \ esse \ caso \ \acute{e} \ semelhante \ ao \ anterior \ . \\ Logo \ , \\\\ \boxed{N_{AA} \ = \ N_{AM} \ = \ \binom{6}{3}}$

$Agora \ o \ \acute{u}ltimo \ caso \ N_{AAM} \ : \ Andreia \ est\acute{a} \ com \ Manuel \ e \ Alberto \ . \\\\ N_{AAM} \ = \ \binom{n}{k} \\\\ Adotando \ a \ mesma \ teoria \ aplicada \ no \ c\acute{a}lculo \ do \ caso \ N_{AAM} \ , \ temos \\ que \ subtrair \ 3 \ de \ n \ e \ k \\\\ N_{AAM} \ = \ \binom{n-3}{k-3} \\\\ Nesse \ caso \ temos \ que \ n \ = \ 9 \ e \ k \ = \ 5 \ tamb\acute{e}m \ . \ Assim \ , \\\\ N_{AAM} \ = \ \binom{9-3}{5-3} \\\\ N_{AAM} \ = \ \binom{6}{2}$

$Como \ todos \ esses \ casos \ calculados \ s\tilde{a}o \ subconjuntos \ ( disjuntos ) \\ de \ T_X^c \ , \ ent\tilde{a}o \ , \\\\ T_X^c \ = \ N_{AM} \ + \ N_{AA} \ + \ N_{AAM} \\\\ Substituindo \ os \ valores \ encontrados \ temos \ que \ , \\\\\ T_X^c \ = \ \binom{6}{3} \ + \ \binom{6}{3} \ + \ \binom{6}{2} \\\\ T_X^c \ = \ 2 \ . \ \binom{6}{3} \ + \ \binom{6}{2}$

$Calcularemos \ a \ seguir \ agora \ o \ total \ de \ comiss\tilde{o}es \ T \ a \ serem \\ formadas \ independentemente \ de \ qualquer \ restri\c{c}\tilde{a}o \ . \\\\\ T \ = \ \binom{n}{k}$

$Sendo \ n \ = \ 9 \ e \ k \ = \ 5 \\\\\ T \ = \ \binom{9}{5}$

$Utilizando \ a \ teoria \ de \ conjunto \ complementar \ podemos \ afirmar \\ que \ , \\\\ \boxed{\boxed{T_X \ + \ T_X^c \ = \ T }} \\\\\\ Assim \ , \ para \ descobrirmos \ o \ total \ de \ comiss\tilde{o}es \ nas \ quais \ n\tilde{a}o \\ existam \ restri\c{c}\tilde{o}es \ basta \ substituirmos \ as \ igualdades \ encontradas \\ para \ T \ e \ T_X^c \ .$

$T_X \ + \ 2 \ . \ \binom{6}{3} \ + \ \binom{6}{2} \ = \ \binom{9}{5} \\\\ T_X \ = \ \frac{9!}{5! \ . \ 4!} \ - \ \frac{6!}{4! \ . \ 2!} \ - \ 2 \ . \ \frac{6!}{3! \ . \ 3!} \\\\ T_X \ = \ 71 \ possibilidades$