Question

determine o dominio da funcao √raiz quadrada x+3/sobre x-2 fraçao

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Tamanini, que a resolução é simples.
Pede-se para determinar o domínio da função abaixo:

f(x) = √[(x+3)/(x-2)] .

Veja: radicais de índice par só aceitam radicandos que sejam maiores ou iguais a zero. Assim, deveremos impor que o radicando (x+3)/(x-2) seja maior ou igual a zero. Assim, imporemos isto:

(x+3)/(x-2) ≥ 0

Note que ficamos com uma inequação-quociente, constituída pela divisão de duas equações do 1º grau [g(x)h(x) ≥ 0]. Temos: g(x) = x+3 e temos h(x) = x-2.
Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações acima. Depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais de cada uma delas. Assim teremos:
gf(x) = x+3 ---> raízes: x + 3 = 0 ---> x = - 3
h(x) = x-2 ---> raízes: x - 2 = 0 ---> x = 2.

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma delas em função de suas raízes. Assim:

a) g(x) = x+3 ....- - - - - - - - - - - (-3)+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
b) h(x) = x-2 ...- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (2) + + + + + + + + + + + + + +
c) h(x)/h(x) ...... + + + + + + + (-3)- - - - - - - - - (2) + + + + + + + + + + + + + +

como queremos que que a divisão de g(x) por h(x) seja maior ou igual a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS (ou é igual a zero) no item "c" acima, que nos fornece o resultado da divisão de f(x) por g(x).
Assim, os intervalos em que isso ocorre serão estes:

x ≤ -3 ou x > 2.

Aí você poderá perguntar: e por que o "x" poderá ser menor ou igual a "-3" e, no entanto, só poderá ser maior do que "2" (e por que também não seria maior ou igual?)
Resposta: porque "2" é raiz do denominador. Se fôssemos admitir que "x" pudesse ser igual a "2" estaríamos admitindo uma divisão por zero, pois note que se "x" = 2, então iríamos ter o denominador (x-2) = 0 e não existe divisão por zero. Então é por isso que o domínio será o que demos acima, ou seja,  será este:

x ≤ -3, ou x > 2  ----- Esta é a resposta. Este é o domínio pedido.

Se quiser, também poderá apresentar o domínio (ou conjunto-solução) da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | x ≤ -3, ou x > 2}.

Ou ainda, também se quiser, poderá apresentar o domínio do seguinte modo, o que dá no mesmo:

S = (-∞; -3] ∪ (2; +∞).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.