Question

(G1 - IFPE 2012) Qual o cosseno do ângulo formado pelos vetores A=4.i+3.j e B= -1.i+1.j, em que i e j são vetores unitários?

Answer 1

= (4,3).(-1,1)
= -4 + 3 = -1
||A|| = V(4² + 3²) = V(16 + 9) = 5
||B|| = V[(-1)² + 1²] = V2

cos(A,B) = /||A||.||B||

cos(A,B) = -1/5.V2

Racionalizando

cos(A,B) = (-1/5.V2)(V2/V2)

cos(A,B) = -V2/5.2 = -V2/10

Alternativa (a)

Answer 2

Resposta:

$-\frac{\sqrt[]{2} }{10}$

Explicação:

Colocando os dados no gráfico é bem mais fácil.

Em A:

X=4 e Y=3    

(4,3)

Em B:

X=-1 e Y=1

(-1,1)

Note que A e B formam um triângulo retângulo, então podemos aplicar Pitágoras para achar a hipotenusa nos dois casos:

$a^{2} =b^{2} +c^{2}$

Em A:

$a=\sqrt{4^{2} +3^{2} } \\a=5$

Em B:

$a=\sqrt{-1^{2}+1^{2} } \\a=\sqrt{2}$

Agora que achamos a hipotenusa basta acharmos o cosseno e o seno:

Em A:

$cos a = \frac{Ay}{A} = \frac{3}{5}$  

$sena= \frac{Ax}{A}= \frac{4}{5}$    

Em B:

$cosb=\frac{By}{B} = \frac{1}{\sqrt[]{2} } =\frac{\sqrt[]{2} }{2}$

$senb= \frac{Bx}{B} =\frac{1}{\sqrt[]{2} } = \frac{\sqrt[]{2} }{2}$

O valor do cosseno é encontrado com a fórmula:

$cos0= cos(\alpha +\beta )\\cos0 = cos\alpha .cos\beta - sen\alpha .sen\beta$

Jogando a e b na fórmula encontramos:

$cos0= \frac{3}{5} .\frac{\sqrt[]{2} }{2} - \frac{4}{5} .\frac{\sqrt[]{2} }{2} \\cos0= -\frac{\sqrt[]{2} }{10}$

O ângulo formado pelos vetores a e b vale:

$-\frac{\sqrt[]{2} }{10}$