Question

GEOMETRIA ANALÍTICA: qual é o ponto da circunferência (x - 1)² + y² = 1 que tem menor distância da reta y = - 2x + 5?

Answer 1

Lembrando que uma circunferência de raio igual a "r" e centro no ponto (a, b) terá o seginte tipo de equação:

(x - a)² + (y - b)² = r²

Portanto, observando a equação da circunferência dada no enunciado, percenbemos que se trata de uma circunferência de raio igual a "1" e centro no pomto (1, 0).

Vamos agora definir uma reta penpendicular a reta dada no enunciado que passa pelo centro da circunferência. Como a reta dada tem coeficiente angular igual a "-2", a reta perpendicular terá coeficiente angular igual a "1/2". Portanto a equação da reta perpendicular será:

y = x/2 + b

Para descobrir o valor do coeficiente linear "b" vamos utilizar o fato de que o centro da circunferêcnia pertence a reta, ou seja, suas coordenadas satisfazem a equação da reta. Assim, temos que:

y = x/2 + b
0 = 1/2 + b
-1/2 = b
b = -1/2

Portanto a equação da reta perpendicular é:

y = x/2 + b
y = x/2 - 1/2
y = (x - 1) / 2

Com isso, temos que o ponto da circunferência que mais se aproxima da reta dada no enunciado também pertence a reta perpendicular encontrata, vamos substituir a equação da reta encontrada "y = (x - 1) / 2" na equação da circunferência para definir o ponto de intersecção entre a reta perpendicular e a circunferência. Note que a reta encontrada corta a circunferência em dois pontos distintos, então é esperado encontrar dois pontos de intersecção. Vejamos:

(x - 1)² + y² = 1
(x - 1)² + ((x - 1) / 2)² = 1
(x² - 2x + 1) + ((x² - 2x + 1) / 4) = 1       (*4)
4x² - 8x + 4 + x² - 2x + 1 = 4
5x² - 10x + 5 = 4
5x² - 10x + 5 - 4 = 0
5x² - 10x + 1 = 0

a = 5
b = -10
c = 1

Δ = b² - 4ac
Δ = (-10)² - 4 * 5 * 1
Δ = 100 - 20
Δ = 80

x' = (-b + √Δ) / 2a
x' = (-(-10) + √80) / (2 * 5)
x' = (10 + √80) / 10
x' = 1+ √(80/100)
x' = 1+ √(4/5)

x'' = (-b - √Δ) / 2a
x'' = (-(-10) - √80) / (2 * 5)
x'' = (10 - √80) / 10
x'' = 1- √(80/100)
x'' = 1- √(4/5)

Vamos substituir os valores de x' e x'' na equação da reta perpendicular para determinar os valores possíveis de "y".

y' = (x' - 1) / 2
y' = ((1 + √(4/5) - 1) / 2
y' = (1 + √(4/5 - 1) / 2
y' = √(4/5) / 2
y' = (2/√5) / 2
y' = 1/√5
y' = 1/√5 * √5/√5
y' = √5/5

y'' = (x' - 1) / 2
y'' = ((1 - √(4/5) - 1) / 2
y'' = (1 - √(4/5 - 1) / 2
y'' = -√(4/5) / 2
y'' = -(2/√5) / 2
y'' = -1/√5
y'' = -1/√5 * √5/√5
y'' = -√5/5

Portanto, os pontos de intersecção entre a circunferência e a reta perpendicular encontrada são ( 1 + √(4/5) ; √5/5 ) e ( 1 - √(4/5) ; -√5/5 ). Portanto, um desses pontos é aquele que mais se aproxima da reta dada no enunciado.

Para definir qual dentre os pontos encontrados é o que mais se aproxima da reta dada no enunciado, podemos calcular a distância entre eles e qualquer ponto da reta dada no enuciado.
Assim, percebemos que o ponto ( 1 + √(4/5) ; √5/5 ) está mais próximo da reta dada, portanto, esse é o ponto da circunferência que mais se aproxima da reta dada.