Question

A derivada direcional da função f(x,y,z)=xyz no ponto P(1;3;3) na direção do vetor v=i+2j+2k vale:

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a derivada direcional da referida função polinomial a partir do ponto "P" na direção do versor de "w" é:

                    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf D_{\hat{w}} f(1, 3, 3) =4\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                          $\Large\begin{cases} f(x, y, z) = xyz\\P(1, 3, 3)\\\vec{w} = \vec{i} + 2\vec{j} + 2\vec{k}\end{cases}$

Para calcularmos a derivada direcional da função a partir do ponto "P" na direção do vetor "w", devemos realizar os seguintes passos:

• Calcular o vetor gradiente da função.

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y, z) = \langle f_{x}(x, y, z),\,f_{y}(x, y, z),\,f_{z}(x, y, z)\rangle\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = yz\,\vec{i} + xz\,\vec{j} + xy\,\vec{k}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (yz, xz, xy)\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{\nabla} f(x, y, z) = (yz, xz, xy)\end{gathered}$

• Obter o vetor gradiente da função aplicado ao ponto "P".

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(1, 3, 3) = (3\cdot3, 1\cdot3, 1\cdot3) = (9, 3, 3)\end{gathered}$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{\nabla} f(1, 3, 3) = (9, 3, 3)\end{gathered}$

• Calcular o versor do vetor "w".                              

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \hat{w} = \frac{\vec{w}}{\parallel \vec{w}\parallel}\end{gathered} }$

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{(1, 2, 2)}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}}\end{gathered} }$  

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \bigg(\frac{1}{\sqrt{9}},\,\frac{2}{\sqrt{9}},\,\frac{2}{\sqrt{9}}\bigg)\end{gathered} }$

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\hat{w} = \bigg(\frac{1}{3},\,\frac{2}{3},\,\frac{2}{3}\bigg)\end{gathered}$

• Obter a derivada direcional da função a partir do ponto "P" na direção do versor de "w".

        Observe que a derivada direcional pode ser calculada a partir do produto escalar entre o vetor gradiente aplicado ao ponto "P" com o versor de "w", ou seja:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} D_{\hat{w}} f(x, y, z) = \vec{\nabla} f(x, y, z)\cdot \hat{w}\end{gathered} }$

        Substituindo os dados na equação "I", temos:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} D_{\hat{w}} f(1, 3, 3) = \vec{\nabla} f(1, 3, 3)\cdot\hat{w}\end{gathered} }$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (1, 3, 3)\cdot\bigg(\frac{1}{3},\,\frac{2}{3},\,\frac{2}{3}\bigg)\end{gathered}$

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 1\cdot\frac{2}{3} + 3\cdot\frac{2}{3} + 2\cdot\frac{2}{3}\end{gathered}$

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{2}{3} + \frac{6}{3} + \frac{4}{3}\end{gathered}$

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{12}{3}\end{gathered}$

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 4\end{gathered}$

✅ Portanto, a derivada direcional procurada é:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} D_{\hat{w}} f(1, 3, 3) = 4\end{gathered} }$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

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